Алгебра Примеры

$\sqrt{8 (x - k)} = x - k$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{8 (x - k)}}^{2} = {(x - k)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{8 (x - k)}$ в виде ${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - k)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(8 (x - k))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - k)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(8 (x - k))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - k)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(8 (x - k))}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(8 x + 8 (- k))}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Этап 2.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

${(8 x - 8 k)}^{1} = {(x - k)}^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Упростим.

$8 x - 8 k = {(x - k)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(x - k)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(x - k)}^{2}$ в виде $(x - k) (x - k)$ .

$8 x - 8 k = (x - k) (x - k)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(x - k) (x - k)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x - 8 k = x (x - k) - k (x - k)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x - 8 k = x \cdot x + x (- k) - k (x - k)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 x - 8 k = x \cdot x + x (- k) - k x - k (- k)$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} + x (- k) - k x - k (- k)$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - k (- k)$

Этап 2.3.1.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 k \cdot k$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.4.1

Перенесем $k$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 (k \cdot k)$

Этап 2.3.1.3.1.4.2

Умножим $k$ на $k$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x - 1 \cdot - 1 k^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x + 1 k^{2}$

Этап 2.3.1.3.1.6

Умножим $k^{2}$ на $1$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - x k - k x + k^{2}$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $k x$ из $- x k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - k x - k x + k^{2}$

Этап 2.3.1.3.2.2

Вычтем $k x$ из $- k x$ .

$8 x - 8 k = x^{2} - 2 k x + k^{2}$

Этап 3

Решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $k$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} = 8 x - 8 k$

Этап 3.2

Добавим $8 k$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} + 8 k = 8 x$

Этап 3.3

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 k x + k^{2} + 8 k - 8 x = 0$

Этап 3.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 x + 8$ и $c = x^{2} - 8 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $k$ .

$\frac{- (- 2 x + 8) \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$k = \frac{2 x - 1 \cdot 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Добавим круглые скобки.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{{(- 2 x + 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Перепишем ${(- 2 x + 8)}^{2}$ в виде $(- 2 x + 8) (- 2 x + 8)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{(- 2 x + 8) (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.2

Развернем $(- 2 x + 8) (- 2 x + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x + 8) + 8 (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x + 8) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot 8 + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3.1.4

Умножим $8$ на $- 2$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x + 8 (- 2 x) + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x - 16 x + 8 \cdot 8 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3.1.6

Умножим $8$ на $8$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 16 x - 16 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5.3.2

Вычтем $16 x$ из $- 16 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2} - 32 x + 64 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{2}$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 32 x + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 32 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 64 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (16) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2}) + 4 (- 8 x)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x) + 4 (16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 8 x) + 4 (16)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{2} - 8 x + 16) + 4 (- u)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (x^{2} - 8 x)$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - (1 \cdot (x^{2} - 8 x)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.1.1

Умножим $x^{2} - 8 x$ на $1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - (x^{2} - 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} - (- 8 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.1.3

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.8.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 x + 16 + 0 + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.2.2

Добавим $- 8 x + 16$ и $0$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (- 8 x + 16 + 8 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.2.3

Добавим $- 8 x$ и $8 x$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 (0 + 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.8.2.4

Добавим $0$ и $16$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.9

Умножим $4$ на $16$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.10

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm \sqrt{8^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.11

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$k = \frac{2 x - 8 \pm 8}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = \frac{2 x - 8 \pm 8}{2}$

Этап 3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$k = x$

$k = x - 8$

$k = x$

$k = x - 8$