Алгебра Примеры

$\frac{12}{x^{2} + x - 2} - \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{1 - x}{x + 2}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{12}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{1 - x}{x + 2}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x - 1) (x + 2), x - 1, x + 2$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 1, x + 2, x - 1, x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{12}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{1 - x}{x + 2}$ умножим на $(x - 1) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{12}{(x - 1) (x + 2)} - \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{1 - x}{x + 2}$ на $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{12}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2)) - \frac{x + 3}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(x - 1) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{(x - 1) (x + 2)} ((x - 1) (x + 2)) - \frac{x + 3}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$12 - \frac{x + 3}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x + 3}{x - 1}$ в числитель.

$12 + \frac{- (x + 3)}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$12 + \frac{- (x + 3)}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$12 - (x + 3) (x + 2) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 + (- x - 1 \cdot 3) (x + 2) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$12 + (- x - 3) (x + 2) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5

Развернем $(- x - 3) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 - x (x + 2) - 3 (x + 2) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 - x \cdot x - x \cdot 2 - 3 (x + 2) = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 - x \cdot x - x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$12 - (x \cdot x) - x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$12 - x^{2} - x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 - x^{2} - 2 x - 3 x - 3 \cdot 2 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$12 - x^{2} - 2 x - 3 x - 6 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6.2

Вычтем $3 x$ из $- 2 x$ .

$12 - x^{2} - 5 x - 6 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.2.2

Вычтем $6$ из $12$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x - 1) (x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 1) (x + 2)$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x^{2} - 5 x + 6 = \frac{1 - x}{x + 2} ((x + 2) (x - 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} - 5 x + 6 = (1 - x) (x - 1)$

Этап 3.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = (- 1 (- 1) - x) (x - 1)$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = (- 1 (- 1) - (x)) (x - 1)$

Этап 3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 1) - (x)$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - 1 (- 1 + x) (x - 1)$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$- x^{2} - 5 x + 6 = - 1 (x - 1) (x - 1)$

Этап 3.3.6

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - 1 ({(x - 1)}^{1} (x - 1))$

Этап 3.3.7

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - 1 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1})$

Этап 3.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2} - 5 x + 6 = - 1 {(x - 1)}^{1 + 1}$

Этап 3.3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - 1 {(x - 1)}^{2}$

Этап 3.3.10

Перепишем $- 1 {(x - 1)}^{2}$ в виде $- {(x - 1)}^{2}$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - {(x - 1)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $- {(x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем.

$- x^{2} - 5 x + 6 = 0 + 0 - {(x - 1)}^{2}$

Этап 4.1.2

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - ((x - 1) (x - 1))$

Этап 4.1.3

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Этап 4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.4.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Этап 4.1.4.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x^{2} - x - x + 1)$

Этап 4.1.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - (x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{2} - 5 x + 6 = - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- x^{2} - 5 x + 6 = - x^{2} + 2 x - 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} - 5 x + 6 + x^{2} = 2 x - 1$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} - 5 x + 6 + x^{2} - 2 x = - 1$

Этап 4.2.3

Объединим противоположные члены в $- x^{2} - 5 x + 6 + x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$- 5 x + 6 + 0 - 2 x = - 1$

Этап 4.2.3.2

Добавим $- 5 x + 6$ и $0$ .

$- 5 x + 6 - 2 x = - 1$

Этап 4.2.4

Вычтем $2 x$ из $- 5 x$ .

$- 7 x + 6 = - 1$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 7 x = - 1 - 6$

Этап 4.3.2

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$- 7 x = - 7$

Этап 4.4

Разделим каждый член $- 7 x = - 7$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Разделим каждый член $- 7 x = - 7$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 7}{- 7}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 7}{- 7}$

Этап 4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 7}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Разделим $- 7$ на $- 7$ .

$x = 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{12}{x^{2} + x - 2} - \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{1 - x}{x + 2}$ истинным.

$Нет решения$