Алгебра Примеры

$\tan (\frac{θ}{2}) = \sqrt{3}$

Этап 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из тангенса.

$\frac{θ}{2} = \arctan (\sqrt{3})$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\arctan (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{3}$ .

$\frac{θ}{2} = \frac{π}{3}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{θ}{2} = 2 \frac{π}{3}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$θ = 2 \frac{π}{3}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $2$ и $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{θ}{2} = π + \frac{π}{3}$

Этап 6

Решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Этап 6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (π + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$θ = 2 (π + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим $2 (π + \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 (\frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = 2 \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$θ = 2 \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Этап 6.2.2.1.3.2

Добавим $3 π$ и $π$ .

$θ = 2 \frac{4 π}{3}$

Этап 6.2.2.1.4

Умножим $2 \frac{4 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.4.1

Объединим $2$ и $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3}$

Этап 6.2.2.1.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3}$

Этап 7

Найдем период $\tan (\frac{θ}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 7.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Этап 7.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \cdot 2$

Этап 7.5

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$2 π$

Этап 8

Период функции $\tan (\frac{θ}{2})$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{8 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$