Алгебра Примеры

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}} + 1 = 0$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}} = - 1$

Этап 2

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{2}{3}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим ${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.1.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} + 2 x + 6)}^{1} = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.1.1.2

Упростим.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${(- 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Этап 3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 2 x + 6 = {(- 1)}^{2}$

Этап 3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} + 2 x + 6 = 1$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x + 6 - 1 = 0$

Этап 4.1.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

Этап 4.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Вычтем $20$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (16)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.7

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

Этап 4.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm 2 i$

Этап 4.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$