Алгебра Примеры

$(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x) = 1008$

Этап 1

Упростим $(30 - 2 x) (20 - 2 x) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(30 - 2 x) (20 - 2 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(30 (20 - 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x (20 - 2 x)) x = 1008$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(30 \cdot 20 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $30$ на $20$ .

$(600 + 30 (- 2 x) - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Этап 1.2.1.2

Умножим $- 2$ на $30$ .

$(600 - 60 x - 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Этап 1.2.1.3

Умножим $20$ на $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 x (- 2 x)) x = 1008$

Этап 1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x = 1008$

Этап 1.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x = 1008$

Этап 1.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(600 - 60 x - 40 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x = 1008$

Этап 1.2.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$(600 - 60 x - 40 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Этап 1.2.2

Вычтем $40 x$ из $- 60 x$ .

$(600 - 100 x + 4 x^{2}) x = 1008$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$600 x - 100 x \cdot x + 4 x^{2} x = 1008$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Перенесем $x$ .

$600 x - 100 (x \cdot x) + 4 x^{2} x = 1008$

Этап 1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{2} x = 1008$

Этап 1.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем $x$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x \cdot x^{2}) = 1008$

Этап 1.4.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 (x^{1} x^{2}) = 1008$

Этап 1.4.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{1 + 2} = 1008$

Этап 1.4.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} = 1008$

Этап 2

Вычтем $1008$ из обеих частей уравнения.

$600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $4$ из $600 x - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $600 x$ .

$4 (150 x) - 100 x^{2} + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 100 x^{2}$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} - 1008 = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 (x^{3}) - 1008 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 1008$ .

$4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (150 x) + 4 (- 25 x^{2})$ .

$4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3} + 4 \cdot - 252 = 0$

Этап 3.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (150 x - 25 x^{2}) + 4 x^{3}$ .

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252 = 0$

Этап 3.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3}) + 4 \cdot - 252$ .

$4 (150 x - 25 x^{2} + x^{3} - 252) = 0$

Этап 3.2

Изменим порядок членов.

$4 (x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252) = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разложим $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

$q = \pm 1$

Этап 3.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

Этап 3.3.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Этап 3.3.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 25 \cdot 3^{2} + 150 \cdot 3 - 252$

Этап 3.3.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 25 \cdot 9 + 150 \cdot 3 - 252$

Этап 3.3.1.3.4

Умножим $- 25$ на $9$ .

$27 - 225 + 150 \cdot 3 - 252$

Этап 3.3.1.3.5

Вычтем $225$ из $27$ .

$- 198 + 150 \cdot 3 - 252$

Этап 3.3.1.3.6

Умножим $150$ на $3$ .

$- 198 + 450 - 252$

Этап 3.3.1.3.7

Добавим $- 198$ и $450$ .

$252 - 252$

Этап 3.3.1.3.8

Вычтем $252$ из $252$ .

$0$

Этап 3.3.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252}{x - 3}$

Этап 3.3.1.5

Разделим $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$25 x^{2}$

$150 x$

$252$

Этап 3.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 3.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 3.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$

Этап 3.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Этап 3.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 22 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$

Этап 3.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					-	$22 x^{2}$	+	$66 x$

Этап 3.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 22 x^{2} + 66 x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$

Этап 3.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$

Этап 3.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$22 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Этап 3.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $84 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$

Этап 3.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							+	$84 x$	-	$252$

Этап 3.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $84 x - 252$ .

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$

Этап 3.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$22 x$	+	$84$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$25 x^{2}$	+	$150 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$22 x^{2}$	+	$150 x$
					+	$22 x^{2}$	-	$66 x$
							+	$84 x$	-	$252$
							-	$84 x$	+	$252$
										$0$

Этап 3.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 22 x + 84$

Этап 3.3.1.6

Запишем $x^{3} - 25 x^{2} + 150 x - 252$ в виде набора множителей.

$4 ((x - 3) (x^{2} - 22 x + 84)) = 0$

Этап 3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Приравняем $x^{2} - 22 x + 84$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} - 22 x + 84$ к $0$ .

$x^{2} - 22 x + 84 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} - 22 x + 84 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 22$ и $c = 84$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 84)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 22$ в степень $2$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 1 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 84$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 4 \cdot 84}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $84$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 336}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $336$ из $484$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{148}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $148$ в виде $2^{2} \cdot 37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $148$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{4 (37)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$

Этап 6.2.3.3

Упростим $\frac{22 \pm 2 \sqrt{37}}{2}$ .

$x = 11 \pm \sqrt{37}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 3) (x^{2} - 22 x + 84) = 0$ верно.

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3, 11 + \sqrt{37}, 11 - \sqrt{37}$

Десятичная форма:

$x = 3, 17.08276253 \dots, 4.91723746 \dots$