Алгебра Примеры

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$

Этап 1

Разложим $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 12, \pm 6, \pm 2, \pm 3, \pm 1.5, \pm 4$

Этап 1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Этап 1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$2 \cdot 1 - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 - 7 \cdot 1^{2} - 7 \cdot 1 + 12$

Этап 1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$2 - 7 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 12$

Этап 1.3.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$2 - 7 - 7 \cdot 1 + 12$

Этап 1.3.6

Вычтем $7$ из $2$ .

$- 5 - 7 \cdot 1 + 12$

Этап 1.3.7

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 5 - 7 + 12$

Этап 1.3.8

Вычтем $7$ из $- 5$ .

$- 12 + 12$

Этап 1.3.9

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12}{x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$12$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{2} + 5 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	+	$12$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x + 12$ .

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$12$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$5 x$
							-	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	-	$12$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 5 x - 12$

Этап 1.6

Запишем $2 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 12$ в виде набора множителей.

$y = (x - 1) (2 x^{2} - 5 x - 12)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$y = (x - 1) (2 x^{2} - 5 (x) - 12)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $3$ плюс $- 8$

$y = (x - 1) (2 x^{2} + (3 - 8) x - 12)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = (x - 1) (2 x^{2} + 3 x - 8 x - 12)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$y = (x - 1) ((2 x^{2} + 3 x) - 8 x - 12)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$y = (x - 1) (x (2 x + 3) - 4 (2 x + 3))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 3$ .

$y = (x - 1) ((2 x + 3) (x - 4))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$y = (x - 1) (2 x + 3) (x - 4)$