Алгебра Примеры

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 (t^{2} - 9) = - 5$

Этап 1

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} + 16 \cdot - 9 = - 5$

Этап 1.1.1.2

Умножим $16$ на $- 9$ .

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 = - 5$

Этап 1.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3

Упростим $3 {(t^{2} - 9)}^{2} + 16 t^{2} - 144 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем ${(t^{2} - 9)}^{2}$ в виде $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ .

$3 ((t^{2} - 9) (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.2

Развернем $(t^{2} - 9) (t^{2} - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (t^{2} (t^{2} - 9) - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 (t^{2} - 9)) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1.1

Умножим $t^{2}$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (t^{2 + 2} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$3 (t^{4} + t^{2} \cdot - 9 - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.3.1.2

Перенесем $- 9$ влево от $t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 9 \cdot t^{2} - 9 t^{2} - 9 \cdot - 9) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.3.1.3

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$3 (t^{4} - 9 t^{2} - 9 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.3.2

Вычтем $9 t^{2}$ из $- 9 t^{2}$ .

$3 (t^{4} - 18 t^{2} + 81) + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 t^{4} + 3 (- 18 t^{2}) + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.5.1

Умножим $- 18$ на $3$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 3 \cdot 81 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.1.5.2

Умножим $3$ на $81$ .

$3 t^{4} - 54 t^{2} + 243 + 16 t^{2} - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- 54 t^{2}$ и $16 t^{2}$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 243 - 144 + 5 = 0$

Этап 1.3.3

Вычтем $144$ из $243$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 99 + 5 = 0$

Этап 1.3.4

Добавим $99$ и $5$ .

$3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$

Этап 2

Подставим $u = t^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

$u = t^{2}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 104 = 312$ , а сумма — $b = - 38$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 38$ из $- 38 u$ .

$3 u^{2} - 38 u + 104 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 38$ как $- 12$ плюс $- 26$

$3 u^{2} + (- 12 - 26) u + 104 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 12 u - 26 u + 104 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 12 u) - 26 u + 104 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 u (u - 4) - 26 (u - 4) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 4$ .

$(u - 4) (3 u - 26) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 4 = 0$

$3 u - 26 = 0$

Этап 5

Приравняем $u - 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $u - 4$ к $0$ .

$u - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$u = 4$

Этап 6

Приравняем $3 u - 26$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 u - 26$ к $0$ .

$3 u - 26 = 0$

Этап 6.2

Решим $3 u - 26 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $26$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 26$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $3 u = 26$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 26$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{26}{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{26}{3}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 4) (3 u - 26) = 0$ верно.

$u = 4, \frac{26}{3}$

Этап 8

Подставим вещественное значение $u = t^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$t^{2} = 4$

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Этап 9

Решим первое уравнение относительно $t$ .

$t^{2} = 4$

Этап 10

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{4}$

Этап 10.2

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 10.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \pm 2$

Этап 10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = 2$

Этап 10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - 2$

Этап 10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = 2, - 2$

Этап 11

Решим второе уравнение относительно $t$ .

${(t^{2})}^{1} = \frac{26}{3}$

Этап 12

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Избавимся от скобок.

$t^{2} = \frac{26}{3}$

Этап 12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \pm \sqrt{\frac{26}{3}}$

Этап 12.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{26}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{26}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$

Этап 12.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 12.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 12.3.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 12.3.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 12.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 12.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 12.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 12.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 12.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 12.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 12.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$t = \pm \frac{\sqrt{26} \sqrt{3}}{3}$

Этап 12.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$t = \pm \frac{\sqrt{26 \cdot 3}}{3}$

Этап 12.3.4.2

Умножим $26$ на $3$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{78}}{3}$

Этап 12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}$

Этап 12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Этап 12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Этап 13

Решением $3 t^{4} - 38 t^{2} + 104 = 0$ является $t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$ .

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$t = 2, - 2, \frac{\sqrt{78}}{3}, - \frac{\sqrt{78}}{3}$

Десятичная форма:

$t = 2, - 2, 2.94392028 \dots, - 2.94392028 \dots$