Алгебра Примеры

$2 = \frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x - 5}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x - 5} = 2$ .

$\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x - 5} = 2$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 3, x - 5, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x + 3, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 3) (x - 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x - 5} = 2$ умножим на $(x + 3) (x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x + 3} - \frac{3}{x - 5} = 2$ на $(x + 3) (x - 5)$ .

$\frac{x}{x + 3} ((x + 3) (x - 5)) - \frac{3}{x - 5} ((x + 3) (x - 5)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x + 3} ((x + 3) (x - 5)) - \frac{3}{x - 5} ((x + 3) (x - 5)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x - 5) - \frac{3}{x - 5} ((x + 3) (x - 5)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 5 - \frac{3}{x - 5} ((x + 3) (x - 5)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 5 - \frac{3}{x - 5} ((x + 3) (x - 5)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$x^{2} - 5 \cdot x - \frac{3}{x - 5} ((x + 3) (x - 5)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{x - 5}$ в числитель.

$x^{2} - 5 x + \frac{- 3}{x - 5} ((x + 3) (x - 5)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $x - 5$ из $(x + 3) (x - 5)$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{- 3}{x - 5} ((x - 5) (x + 3)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 5 x + \frac{- 3}{x - 5} ((x - 5) (x + 3)) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 5 x - 3 (x + 3) = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 5 x - 3 x - 3 \cdot 3 = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 3$ на $3$ .

$x^{2} - 5 x - 3 x - 9 = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.2.2

Вычтем $3 x$ из $- 5 x$ .

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 ((x + 3) (x - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(x + 3) (x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 (x (x - 5) + 3 (x - 5))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 (x - 5))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 (x \cdot x + x \cdot - 5 + 3 x + 3 \cdot - 5)$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 (x^{2} + x \cdot - 5 + 3 x + 3 \cdot - 5)$

Этап 3.3.2.1.2

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 (x^{2} - 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot - 5)$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 (x^{2} - 5 x + 3 x - 15)$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 5 x$ и $3 x$ .

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 (x^{2} - 2 x - 15)$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot - 15$

Этап 3.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot - 15$

Этап 3.3.4.2

Умножим $2$ на $- 15$ .

$x^{2} - 8 x - 9 = 2 x^{2} - 4 x - 30$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 8 x - 9 - 2 x^{2} = - 4 x - 30$

Этап 4.1.2

Добавим $4 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 8 x - 9 - 2 x^{2} + 4 x = - 30$

Этап 4.1.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} - 8 x - 9 + 4 x = - 30$

Этап 4.1.4

Добавим $- 8 x$ и $4 x$ .

$- x^{2} - 4 x - 9 = - 30$

Этап 4.2

Добавим $30$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} - 4 x - 9 + 30 = 0$

Этап 4.3

Добавим $- 9$ и $30$ .

$- x^{2} - 4 x + 21 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 4 x + 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 4 x + 21 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x$ .

$- (x^{2}) - (4 x) + 21 = 0$

Этап 4.4.1.3

Перепишем $21$ в виде $- 1 (- 21)$ .

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 21 = 0$

Этап 4.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (4 x)$ .

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 21 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 21)$ .

$- (x^{2} + 4 x - 21) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $x^{2} + 4 x - 21$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 21$ , а сумма — $4$ .

$- 3, 7$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 7)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 7) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.7

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 3, - 7$