Алгебра Примеры

$x^{\frac{1}{2}} - 7$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ .

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

Этап 2.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

Этап 2.2.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

Этап 2.3

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

Этап 2.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

Этап 2.4.1.1.2

Упростим.

$y = {(7 + x)}^{2}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${(7 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем ${(7 + x)}^{2}$ в виде $(7 + x) (7 + x)$ .

$y = (7 + x) (7 + x)$

Этап 2.4.2.1.2

Развернем $(7 + x) (7 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

Этап 2.4.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

Этап 2.4.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Этап 2.4.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.3.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Этап 2.4.2.1.3.1.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

Этап 2.4.2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

Этап 2.4.2.1.3.2

Добавим $7 x$ и $7 x$ .

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

Этап 2.5

Упростим $49 + 14 x + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $49$ .

$y = 14 x + x^{2} + 49$

Этап 2.5.2

Изменим порядок $14 x$ и $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 14 x + 49$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ обратной к $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ в виде $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.2

Развернем $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3.1.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3.1.1.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3.1.2

Упростим $x^{1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3.1.3

Перенесем $- 7$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3.1.4

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.3.2

Вычтем $7 x^{\frac{1}{2}}$ из $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Этап 4.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

Этап 4.2.3.5

Умножим $14$ на $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Добавим $- 14 x^{\frac{1}{2}}$ и $14 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Этап 4.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $98$ из $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

Этап 4.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 49 + 49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Добавим $- 49$ и $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (x^{2} + 14 x + 49)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

Этап 4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Этап 4.3.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Этап 4.3.3.1.3

Перепишем многочлен.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Этап 4.3.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Этап 4.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Сократим общий множитель.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Этап 4.3.3.3.2

Перепишем это выражение.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

Этап 4.3.3.4

Упростим.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

Этап 4.3.4

Объединим противоположные члены в $x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

Этап 4.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ — обратная к $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$