Алгебра Примеры

$6 x^{2} - x - 12 \geq - 10$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$6 x^{2} - x - 12 = - 10$

Этап 2

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$6 x^{2} - x - 12 + 10 = 0$

Этап 3

Добавим $- 12$ и $10$ .

$6 x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$6 x^{2} - (x) - 2 = 0$

Этап 4.1.2

Запишем $- 1$ как $3$ плюс $- 4$

$6 x^{2} + (3 - 4) x - 2 = 0$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 = 0$

Этап 4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x^{2} + 3 x) - 4 x - 2 = 0$

Этап 4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1) = 0$

Этап 4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 7

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 7.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (3 x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$6 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12 \geq - 10$

Этап 10.1.3

Левая часть $45$ больше правой части $- 10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$6 {(0)}^{2} - (0) - 12 \geq - 10$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 12$ меньше правой части $- 10$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{2}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$6 {(3)}^{2} - (3) - 12 \geq - 10$

Этап 10.3.3

Левая часть $39$ больше правой части $- 10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Ложь

$x > \frac{2}{3}$ Истина

$x < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < x < \frac{2}{3}$ Ложь

$x > \frac{2}{3}$ Истина

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{1}{2}$ или $x \geq \frac{2}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{1}{2} or x \geq \frac{2}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$

Этап 13