Алгебра Примеры

$f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (| 2 - x |)$

Этап 1

Зададим аргумент в $\log_{\frac{1}{2}} (| 2 - x |)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$| 2 - x | > 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $| 2 - x | > 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$2 - x \geq 0$

Этап 2.1.2

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 2$

Этап 2.1.2.2

Разделим каждый член $- x \geq - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Разделим каждый член $- x \geq - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x \leq 2$

Этап 2.1.3

В части, где $2 - x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$2 - x > 0$

Этап 2.1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$2 - x < 0$

Этап 2.1.5

Решим неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x < - 2$

Этап 2.1.5.2

Разделим каждый член $- x < - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Разделим каждый член $- x < - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.1.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.1.5.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.1.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x > 2$

Этап 2.1.6

В части, где $2 - x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (2 - x) > 0$

Этап 2.1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - (2 - x) > 0 & x > 2 \end{cases}$

Этап 2.1.8

Упростим $- (2 - x) > 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 1 \cdot 2 - - x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Этап 2.1.8.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 - - x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Этап 2.1.8.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 + 1 x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Этап 2.1.8.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

${\begin{cases} 2 - x > 0 & x \leq 2 \\ - 2 + x > 0 & x > 2 \end{cases}$

Этап 2.2

Решим $2 - x > 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$- x > - 2$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член $- x > - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разделим каждый член $- x > - 2$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x < 2$

Этап 2.3

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x > 2$

Этап 2.4

Найдем объединение решений.

$x < 2$ или $x > 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 2}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, 2) \cup (2, \infty), {x | x \neq 2}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 6