Алгебра Примеры

$\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 5

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = - 1$

$x = 4$

$x = - 8$

Этап 6

Объединим решения.

$x = - 1, 4, - 8$

Этап 7

Найдем область определения $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 1}{(x - 4) (x + 8)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x - 4) (x + 8) = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 7.2.2

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 7.2.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7.2.3

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 7.2.3.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 8) = 0$ верно.

$x = 4, - 8$

Этап 7.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 1$

$- 1 < x < 4$

$x > 4$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 8$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 10) + 1}{((- 10) - 4) ((- 10) + 8)} \geq 0$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 0.32142857$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $- 8 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $- 8 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{(- 4) + 1}{((- 4) - 4) ((- 4) + 8)} \geq 0$

Этап 9.2.3

Левая часть $0.09375$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{(0) + 1}{((0) - 4) ((0) + 8)} \geq 0$

Этап 9.3.3

Левая часть $- 0.03125$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 9.4

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 9.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\frac{(6) + 1}{((6) - 4) ((6) + 8)} \geq 0$

Этап 9.4.3

Левая часть $0.25$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 9.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

$x < - 8$ Ложь

$- 8 < x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 4$ Ложь

$x > 4$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 8 < x \leq - 1$ или $x > 4$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 8 < x \leq - 1 or x > 4$

Интервальное представление:

$(- 8, - 1] \cup (4, \infty)$

Этап 12