Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{x} - \frac{x + 1}{x + 4} = \frac{5}{x}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, x + 4, x$

Этап 1.2

Поскольку $x, x + 4, x$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x, x + 4, x$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}, x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $x + 4$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $x^{1}, x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 1.8

Множителем $x + 4$ является само значение $x + 4$ .

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

НОК $x + 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x + 4$

Этап 1.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (x + 4)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 3}{x} - \frac{x + 1}{x + 4} = \frac{5}{x}$ умножим на $x (x + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 3}{x} - \frac{x + 1}{x + 4} = \frac{5}{x}$ на $x (x + 4)$ .

$\frac{x + 3}{x} (x (x + 4)) - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 3}{x} (x (x + 4)) - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 3) (x + 4) - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(x + 3) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 4) + 3 (x + 4) - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 3 (x + 4) - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4 - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 4 + 3 x + 3 \cdot 4 - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$x^{2} + 4 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 4 - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.3.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{2} + 4 x + 3 x + 12 - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $4 x$ и $3 x$ .

$x^{2} + 7 x + 12 - \frac{x + 1}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x + 1}{x + 4}$ в числитель.

$x^{2} + 7 x + 12 + \frac{- (x + 1)}{x + 4} (x (x + 4)) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.2

Вынесем множитель $x + 4$ из $x (x + 4)$ .

$x^{2} + 7 x + 12 + \frac{- (x + 1)}{x + 4} ((x + 4) x) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 7 x + 12 + \frac{- (x + 1)}{x + 4} ((x + 4) x) = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 7 x + 12 - (x + 1) x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 7 x + 12 + (- x - 1 \cdot 1) x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{2} + 7 x + 12 + (- x - 1) x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 7 x + 12 - x \cdot x - 1 x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Перенесем $x$ .

$x^{2} + 7 x + 12 - (x \cdot x) - 1 x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 7 x + 12 - x^{2} - 1 x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.1.9

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} + 7 x + 12 - x^{2} - x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 7 x + 12 - x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$7 x + 12 + 0 - x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.2.1.2

Добавим $7 x + 12$ и $0$ .

$7 x + 12 - x = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $x$ из $7 x$ .

$6 x + 12 = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$6 x + 12 = \frac{5}{x} (x (x + 4))$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$6 x + 12 = 5 (x + 4)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 12 = 5 x + 5 \cdot 4$

Этап 2.3.3

Умножим $5$ на $4$ .

$6 x + 12 = 5 x + 20$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей уравнения.

$6 x + 12 - 5 x = 20$

Этап 3.1.2

Вычтем $5 x$ из $6 x$ .

$x + 12 = 20$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$x = 20 - 12$

Этап 3.2.2

Вычтем $12$ из $20$ .

$x = 8$