Алгебра Примеры

$3 x - 5 = \sqrt{6 x + 5}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{6 x + 5} = 3 x - 5$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{6 x + 5}}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x + 5}$ в виде ${(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 x + 5)}^{1} = {(3 x - 5)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$6 x + 5 = {(3 x - 5)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 x - 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(3 x - 5)}^{2}$ в виде $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$6 x + 5 = (3 x - 5) (3 x - 5)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 x - 5) (3 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 5 = 3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 5 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 5 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x + 5 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$6 x + 5 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x + 5 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.4

Умножим $- 5$ на $3$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 5$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5$

Этап 3.3.1.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $15 x$ из $- 15 x$ .

$6 x + 5 = 9 x^{2} - 30 x + 25$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} - 30 x + 25 = 6 x + 5$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 30 x + 25 - 6 x = 5$

Этап 4.2.2

Вычтем $6 x$ из $- 30 x$ .

$9 x^{2} - 36 x + 25 = 5$

Этап 4.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 36 x + 25 - 5 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $5$ из $25$ .

$9 x^{2} - 36 x + 20 = 0$

Этап 4.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 20 = 180$ , а сумма — $b = - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Вынесем множитель $- 36$ из $- 36 x$ .

$9 x^{2} - 36 x + 20 = 0$

Этап 4.5.1.2

Запишем $- 36$ как $- 6$ плюс $- 30$

$9 x^{2} + (- 6 - 30) x + 20 = 0$

Этап 4.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} - 6 x - 30 x + 20 = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(9 x^{2} - 6 x) - 30 x + 20 = 0$

Этап 4.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (3 x - 2) - 10 (3 x - 2) = 0$

Этап 4.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (3 x - 10) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$3 x - 10 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 4.8

Приравняем $3 x - 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $3 x - 10$ к $0$ .

$3 x - 10 = 0$

Этап 4.8.2

Решим $3 x - 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 10$

Этап 4.8.2.2

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 10$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 4.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{10}{3}$

Этап 4.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{10}{3}$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 2) (3 x - 10) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, \frac{10}{3}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $3 x - 5 = \sqrt{6 x + 5}$ истинным.

$x = \frac{10}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{10}{3}$

Десятичная форма:

$x = 3.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$x = 3 \frac{1}{3}$