Алгебра Примеры

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + 9 x^{2} - 9 x = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $9 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (9 x) - 9 x = 0$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $- 9 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2}) + x (9 x) + x \cdot - 9 = 0$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (- 5 x^{2})$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (9 x) + x \cdot - 9 = 0$

Этап 1.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 5 x^{2}) + x (9 x)$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x) + x \cdot - 9 = 0$

Этап 1.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x) + x \cdot - 9$ .

$x (x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9) = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 9, \pm 3$

Этап 1.2.1.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3 - 9$

Этап 1.2.1.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 - 5 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3 - 9$

Этап 1.2.1.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$27 - 5 \cdot 9 + 9 \cdot 3 - 9$

Этап 1.2.1.3.4

Умножим $- 5$ на $9$ .

$27 - 45 + 9 \cdot 3 - 9$

Этап 1.2.1.3.5

Вычтем $45$ из $27$ .

$- 18 + 9 \cdot 3 - 9$

Этап 1.2.1.3.6

Умножим $9$ на $3$ .

$- 18 + 27 - 9$

Этап 1.2.1.3.7

Добавим $- 18$ и $27$ .

$9 - 9$

Этап 1.2.1.3.8

Вычтем $9$ из $9$ .

$0$

Этап 1.2.1.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9}{x - 3}$

Этап 1.2.1.5

Разделим $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$9 x$

$9$

Этап 1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$

Этап 1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$

Этап 1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

Этап 1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$

Этап 1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$

Этап 1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$

Этап 1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							+	$3 x$	-	$9$

Этап 1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 9$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$

Этап 1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$3$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$9 x$	-	$9$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$3 x$	-	$9$
							-	$3 x$	+	$9$
										$0$

Этап 1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x + 3$

Этап 1.2.1.6

Запишем $x^{3} - 5 x^{2} + 9 x - 9$ в виде набора множителей.

$x ((x - 3) (x^{2} - 2 x + 3)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x - 3) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x^{2} - 2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} - 2 x + 3$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Вычтем $12$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.7

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 3) (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3, 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Этап 7