Алгебра Примеры

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$ $g (x) = x + 7$

Этап 1

Подставим $x + 7$ вместо $f (x)$ .

$x + 7 = x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 = x + 7$

Этап 2.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 12 x^{2} + 25 x - 70 - x = 7$

Этап 2.2.2

Вычтем $x$ из $25 x$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 = 7$

Этап 2.3

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 70 - 7 = 0$

Этап 2.4

Вычтем $7$ из $- 70$ .

$x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77 = 0$

Этап 2.5

Разложим $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1$

Этап 2.5.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

Этап 2.5.3

Подставим $- 7$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 7$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Подставим $- 7$ в многочлен.

${(- 7)}^{3} + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Этап 2.5.3.2

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$- 343 + 12 {(- 7)}^{2} + 24 \cdot - 7 - 77$

Этап 2.5.3.3

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$- 343 + 12 \cdot 49 + 24 \cdot - 7 - 77$

Этап 2.5.3.4

Умножим $12$ на $49$ .

$- 343 + 588 + 24 \cdot - 7 - 77$

Этап 2.5.3.5

Добавим $- 343$ и $588$ .

$245 + 24 \cdot - 7 - 77$

Этап 2.5.3.6

Умножим $24$ на $- 7$ .

$245 - 168 - 77$

Этап 2.5.3.7

Вычтем $168$ из $245$ .

$77 - 77$

Этап 2.5.3.8

Вычтем $77$ из $77$ .

$0$

Этап 2.5.4

Поскольку $- 7$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77}{x + 7}$

Этап 2.5.5

Разделим $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ на $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$7$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$24 x$

$77$

Этап 2.5.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$

Этап 2.5.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			+	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Этап 2.5.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Этап 2.5.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Этап 2.5.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 2.5.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 2.5.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$35 x$

Этап 2.5.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{2} + 35 x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$

Этап 2.5.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$

Этап 2.5.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Этап 2.5.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 11 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$

Этап 2.5.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							-	$11 x$	-	$77$

Этап 2.5.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 11 x - 77$ .

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$

Этап 2.5.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$5 x$	-	$11$
$x$	+	$7$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$24 x$	-	$77$
			-	$x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$35 x$
							-	$11 x$	-	$77$
							+	$11 x$	+	$77$
										$0$

Этап 2.5.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 5 x - 11$

Этап 2.5.6

Запишем $x^{3} + 12 x^{2} + 24 x - 77$ в виде набора множителей.

$(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$

Этап 2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 7 = 0$

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Этап 2.7

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.7.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.8

Приравняем $x^{2} + 5 x - 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Приравняем $x^{2} + 5 x - 11$ к $0$ .

$x^{2} + 5 x - 11 = 0$

Этап 2.8.2

Решим $x^{2} + 5 x - 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.8.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 5$ и $c = - 11$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.3.1.3

Добавим $25$ и $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.4.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.4.1.3

Добавим $25$ и $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.4.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{69})}{2}$

Этап 2.8.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{69})}{2}$

Этап 2.8.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 11$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.5.1.3

Добавим $25$ и $44$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.8.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.5.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{69}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{69})}{2}$

Этап 2.8.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (\sqrt{69})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{69})}{2}$

Этап 2.8.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.8.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Этап 2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 7) (x^{2} + 5 x - 11) = 0$ верно.

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 7, - \frac{5 - \sqrt{69}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{69}}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 7, 1.65331193 \dots, - 6.65331193 \dots$