Алгебра Примеры

$f (x) = {(x - 1)}^{3} + 2$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int {(x - 1)}^{3} d x + \int 2 d x$

Этап 3

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{3} d u + \int 2 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int 2 d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{4} u^{4} + C + 2 x + C$

Этап 6

Упростим.

$\frac{1}{4} u^{4} + 2 x + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$

Этап 8

Функция $F$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$F (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{4} + 2 x + C$