Алгебра Примеры

$\sqrt{x - 3} \leq 7$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x - 3}}^{2} \leq 7^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 3}$ в виде ${(x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 7^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 7^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x - 3)}^{1} \leq 7^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x - 3 \leq 7^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x - 3 \leq 49$

Этап 3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \leq 49 + 3$

Этап 3.2

Добавим $49$ и $3$ .

$x \leq 52$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{x - 3} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x - 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x - 3 \geq 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 3$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[3, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3$

$3 < x < 52$

$x > 52$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(0) - 3} \leq 7$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $3 < x < 52$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $3 < x < 52$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(6) - 3} \leq 7$

Этап 6.2.3

Левая часть $1.7320508$ меньше правой части $7$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 52$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 52$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 54$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $54$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(54) - 3} \leq 7$

Этап 6.3.3

Левая часть $7.14142842$ больше правой части $7$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3$ Ложь

$3 < x < 52$ Истина

$x > 52$ Ложь

$x < 3$ Ложь

$3 < x < 52$ Истина

$x > 52$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$3 \leq x \leq 52$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$3 \leq x \leq 52$

Интервальное представление:

$[3, 52]$

Этап 9