Алгебра Примеры

${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) = 25$

Этап 1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2

Упростим ${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2} + 16 \sin^{2} (x) - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(5 \cos (x) - 3 \sin (x))}^{2}$ в виде $(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x))$ .

$(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.2

Развернем $(5 \cos (x) - 3 \sin (x)) (5 \cos (x) - 3 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cos (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cos (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x) - 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \cos (x) (5 \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $5 \cos (x) (5 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 \cos (x) \cos (x) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$25 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$25 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 {\cos (x)}^{1 + 1} + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$25 \cos^{2} (x) + 5 \cos (x) (- 3 \sin (x)) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin (x) (5 \cos (x)) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- 3 \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $- 3 \sin (x) (- 3 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.4.1

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 \sin (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 {\sin (x)}^{1 + 1} + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \sin (x) \cos (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.2

Изменим порядок множителей в $- 15 \sin (x) \cos (x)$ .

$25 \cos^{2} (x) - 15 \cos (x) \sin (x) - 15 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.1.3.3

Вычтем $15 \cos (x) \sin (x)$ из $- 15 \cos (x) \sin (x)$ .

$25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) - 25 = 0$

Этап 2.2

Перенесем $- 25$ .

$25 \cos^{2} (x) - 25 - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.3

Изменим порядок $25 \cos^{2} (x)$ и $- 25$ .

$- 25 + 25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25$ .

$- 25 (1) + 25 \cos^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 25$ из $25 \cos^{2} (x)$ .

$- 25 (1) - 25 (- \cos^{2} (x)) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 25$ из $- 25 (1) - 25 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 25 (1 - \cos^{2} (x)) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.7

Применим формулу Пифагора.

$- 25 \sin^{2} (x) - 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.8

Добавим $- 25 \sin^{2} (x)$ и $9 \sin^{2} (x)$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.9

Объединим противоположные члены в $- 30 \cos (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Добавим $- 16 \sin^{2} (x)$ и $16 \sin^{2} (x)$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) + 0 = 0$

Этап 2.9.2

Добавим $- 30 \cos (x) \sin (x)$ и $0$ .

$- 30 \cos (x) \sin (x) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Этап 4

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 4.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 30 \cos (x) \sin (x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$