Алгебра Примеры

$y = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 x - x^{2}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 x - x^{2} \geq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x - x^{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $2 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 - x$ к $0$ .

$2 - x = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (2 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 2$

Этап 2.7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Этап 2.8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 2.8.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.1.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 2.8.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$2 (1) - {(1)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.8.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 2.8.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$2 (4) - {(4)}^{2} \geq 0$

Этап 2.8.3.3

Левая часть $- 8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 2$ Истина

$x > 2$ Ложь

Этап 2.9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 2$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$[0, 2]$

Обозначение построения множества:

${x | 0 \leq x \leq 2}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, 1]$

Обозначение построения множества:

${y | 0 \leq y \leq 1}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $[0, 2], {x | 0 \leq x \leq 2}$

Диапазон: $[0, 1], {y | 0 \leq y \leq 1}$

Этап 6