Алгебра Примеры

$\frac{10}{x^{2} + x - 6} = \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 3}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{10}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 3}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x - 2) (x + 3), x - 2, x + 3$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x + 3$ является само значение $x + 3$ .

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x - 2, x + 3, x - 2, x + 3$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (x + 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{10}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 3}$ умножим на $(x - 2) (x + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{10}{(x - 2) (x + 3)} = \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 3}$ на $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{10}{(x - 2) (x + 3)} ((x - 2) (x + 3)) = \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 3)) + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $(x - 2) (x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{(x - 2) (x + 3)} ((x - 2) (x + 3)) = \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 3)) + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$10 = \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 3)) + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$10 = \frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 3)) + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$10 = x (x + 3) + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 = x \cdot x + x \cdot 3 + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$10 = x^{2} + x \cdot 3 + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3.1.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$10 = x^{2} + 3 \cdot x + \frac{2}{x + 3} ((x - 2) (x + 3))$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $x + 3$ из $(x - 2) (x + 3)$ .

$10 = x^{2} + 3 x + \frac{2}{x + 3} ((x + 3) (x - 2))$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$10 = x^{2} + 3 x + \frac{2}{x + 3} ((x + 3) (x - 2))$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$10 = x^{2} + 3 x + 2 (x - 2)$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$10 = x^{2} + 3 x + 2 x + 2 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$10 = x^{2} + 3 x + 2 x - 4$

Этап 3.3.2

Добавим $3 x$ и $2 x$ .

$10 = x^{2} + 5 x - 4$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 5 x - 4 = 10$ .

$x^{2} + 5 x - 4 = 10$

Этап 4.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 5 x - 4 - 10 = 0$

Этап 4.3

Вычтем $10$ из $- 4$ .

$x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Этап 4.4

Разложим $x^{2} + 5 x - 14$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 14$ , а сумма — $5$ .

$- 2, 7$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 7) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.7

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 2, - 7$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{10}{x^{2} + x - 6} = \frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x + 3}$ истинным.

$x = - 7$