Алгебра Примеры

$\frac{- 3 x + 1}{x - 2} - \frac{5}{x - 6} = \frac{4}{x^{2} - 8 x + 12}$

Этап 1

Разложим $x^{2} - 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{- 3 x + 1}{x - 2} - \frac{5}{x - 6} = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, x - 6, (x - 6) (x - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 6$ является само значение $x - 6$ .

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 2, x - 6, x - 6, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (x - 6)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{- 3 x + 1}{x - 2} - \frac{5}{x - 6} = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)}$ умножим на $(x - 2) (x - 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{- 3 x + 1}{x - 2} - \frac{5}{x - 6} = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)}$ на $(x - 2) (x - 6)$ .

$\frac{- 3 x + 1}{x - 2} ((x - 2) (x - 6)) - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x + 1}{x - 2} ((x - 2) (x - 6)) - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(- 3 x + 1) (x - 6) - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(- 3 x + 1) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x (x - 6) + 1 (x - 6) - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 + 1 (x - 6) - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 + 1 x + 1 \cdot - 6 - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 6 + 1 x + 1 \cdot - 6 - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 3 x^{2} - 3 x \cdot - 6 + 1 x + 1 \cdot - 6 - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 1 x + 1 \cdot - 6 - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + x + 1 \cdot - 6 - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + x - 6 - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $18 x$ и $x$ .

$- 3 x^{2} + 19 x - 6 - \frac{5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{x - 6}$ в числитель.

$- 3 x^{2} + 19 x - 6 + \frac{- 5}{x - 6} ((x - 2) (x - 6)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $x - 6$ из $(x - 2) (x - 6)$ .

$- 3 x^{2} + 19 x - 6 + \frac{- 5}{x - 6} ((x - 6) (x - 2)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$- 3 x^{2} + 19 x - 6 + \frac{- 5}{x - 6} ((x - 6) (x - 2)) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$- 3 x^{2} + 19 x - 6 - 5 (x - 2) = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x^{2} + 19 x - 6 - 5 x - 5 \cdot - 2 = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$- 3 x^{2} + 19 x - 6 - 5 x + 10 = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $5 x$ из $19 x$ .

$- 3 x^{2} + 14 x - 6 + 10 = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $- 6$ и $10$ .

$- 3 x^{2} + 14 x + 4 = \frac{4}{(x - 6) (x - 2)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 2) (x - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 2) (x - 6)$ из $(x - 6) (x - 2)$ .

$- 3 x^{2} + 14 x + 4 = \frac{4}{(x - 2) (x - 6) (1)} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- 3 x^{2} + 14 x + 4 = \frac{4}{(x - 2) (x - 6) \cdot 1} ((x - 2) (x - 6))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 3 x^{2} + 14 x + 4 = 4$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} + 14 x + 4 - 4 = 0$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $- 3 x^{2} + 14 x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$- 3 x^{2} + 14 x + 0 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $- 3 x^{2} + 14 x$ и $0$ .

$- 3 x^{2} + 14 x = 0$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- x$ из $- 3 x^{2} + 14 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 3 x^{2}$ .

$- x (3 x) + 14 x = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $- x$ из $14 x$ .

$- x (3 x) - x \cdot - 14 = 0$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (3 x) - x (- 14)$ .

$- x (3 x - 14) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x - 14 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.6

Приравняем $3 x - 14$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $3 x - 14$ к $0$ .

$3 x - 14 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $3 x - 14 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 14$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = 14$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 14$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{14}{3}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{14}{3}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{14}{3}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (3 x - 14) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{14}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, \frac{14}{3}$

Десятичная форма:

$x = 0, 4.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = 0, 4 \frac{2}{3}$