Алгебра Примеры

${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \leq 4$

Этап 1

Вычтем ${(x - 1)}^{2}$ из обеих частей неравенства.

${(y + 2)}^{2} \leq 4 - {(x - 1)}^{2}$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{{(y + 2)}^{2}} \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y + 2 | \leq \sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\sqrt{4 - {(x - 1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{2^{2} - {(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x - 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(2 + x - 1) (2 - (x - 1))}$

Этап 3.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вычтем $1$ из $2$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - (x - 1))}$

Этап 3.2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x - - 1)}$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (2 - x + 1)}$

Этап 3.2.1.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Этап 4

Запишем $| y + 2 | \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y + 2 \geq 0$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$y \geq - 2$

Этап 4.3

В части, где $y + 2$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Этап 4.4

Найдем область определения $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ и пересечение с $y \geq - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Найдем область определения $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Этап 4.4.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Упростим $(x + 1) (- x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1.1

Развернем $(x + 1) (- x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.2.1.4

Умножим $- x$ на $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.1.2.2

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Этап 4.4.1.2.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Этап 4.4.1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Этап 4.4.1.2.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Этап 4.4.1.2.3.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.4.1.2.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.4.1.2.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 4.4.1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.3.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 4.4.1.2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 4.4.1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 4.4.1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.4.1.2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.4.1.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.4.1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.4.1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.4.1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 4.4.1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 4.4.1.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.4.1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Этап 4.4.1.2.9.1.3

Левая часть $- 21$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.4.1.2.9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.4.1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Этап 4.4.1.2.9.2.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.4.1.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 4.4.1.2.9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Этап 4.4.1.2.9.3.3

Левая часть $- 21$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.4.1.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 4.4.1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 3$

Этап 4.4.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 1, 3]$

Этап 4.4.2

Найдем пересечение $y \geq - 2$ и $[- 1, 3]$ .

$- 1 \leq y \leq 3$

Этап 4.5

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y + 2 < 0$

Этап 4.6

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$y < - 2$

Этап 4.7

В части, где $y + 2$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$

Этап 4.8

Найдем область определения $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ и пересечение с $y < - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем область определения $- (y + 2) \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

$(x + 1) (- x + 3) \geq 0$

Этап 4.8.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1

Упростим $(x + 1) (- x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1.1

Развернем $(x + 1) (- x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x + 3) + 1 (- x + 3) \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x + 3) \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + x \cdot 3 + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.2.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$- x^{2} + 3 \cdot x + 1 (- x) + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.2.1.4

Умножим $- x$ на $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 1 \cdot 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- x^{2} + 3 x - x + 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.1.2.2

Вычтем $x$ из $3 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 3 \geq 0$

Этап 4.8.1.2.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

Этап 4.8.1.2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

Этап 4.8.1.2.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

Этап 4.8.1.2.3.1.3

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.8.1.2.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

Этап 4.8.1.2.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Этап 4.8.1.2.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.3.2.1

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.3.2.1.1

$- 3, 1$

Этап 4.8.1.2.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Этап 4.8.1.2.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 4.8.1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.8.1.2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.8.1.2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4.8.1.2.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.8.1.2.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.8.1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$

Этап 4.8.1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

Этап 4.8.1.2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.8.1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 1) (- (- 4) + 3) \geq 0$

Этап 4.8.1.2.9.1.3

Левая часть $- 21$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.8.1.2.9.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.8.1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 1) (- (0) + 3) \geq 0$

Этап 4.8.1.2.9.2.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.8.1.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 4.8.1.2.9.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$((6) + 1) (- (6) + 3) \geq 0$

Этап 4.8.1.2.9.3.3

Левая часть $- 21$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.8.1.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 4.8.1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 \leq x \leq 3$

Этап 4.8.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[- 1, 3]$

Этап 4.8.2

Найдем пересечение $y < - 2$ и $[- 1, 3]$ .

$Нет решения$

Этап 4.9

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} & - 1 \leq y \leq 3 \end{cases}$

Этап 5

Решим $y + 2 \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)}$ , когда $- 1 \leq y \leq 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $2$ из обеих частей неравенства.

$y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$

Этап 5.2

Найдем пересечение $y \leq \sqrt{(x + 1) (- x + 3)} - 2$ и $- 1 \leq y \leq 3$ .

$- 1 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Этап 6

Найдем объединение решений.

$- 1 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Этап 7