Алгебра Примеры

$9 = x + 2 \sqrt{x - 1}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x + 2 \sqrt{x - 1} = 9$ .

$x + 2 \sqrt{x - 1} = 9$

Этап 2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x - 1} = 9 - x$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x - 1})}^{2} = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x - 1)}^{1} = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Упростим.

$4 (x - 1) = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot - 1 = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 x - 4 = {(9 - x)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(9 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(9 - x)}^{2}$ в виде $(9 - x) (9 - x)$ .

$4 x - 4 = (9 - x) (9 - x)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(9 - x) (9 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = 9 (9 - x) - x (9 - x)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = 9 \cdot 9 + 9 (- x) - x (9 - x)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x - 4 = 9 \cdot 9 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $9$ на $9$ .

$4 x - 4 = 81 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$4 x - 4 = 81 - 9 x - x \cdot 9 - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$4 x - 4 = 81 - 9 x - 9 x - x (- x)$

Этап 4.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x - 4 = 81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x - 4 = 81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Этап 4.3.1.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x - 4 = 81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x - 4 = 81 - 9 x - 9 x + 1 x^{2}$

Этап 4.3.1.3.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$4 x - 4 = 81 - 9 x - 9 x + x^{2}$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $9 x$ из $- 9 x$ .

$4 x - 4 = 81 - 18 x + x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$81 - 18 x + x^{2} = 4 x - 4$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$81 - 18 x + x^{2} - 4 x = - 4$

Этап 5.2.2

Вычтем $4 x$ из $- 18 x$ .

$81 + x^{2} - 22 x = - 4$

Этап 5.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$81 + x^{2} - 22 x + 4 = 0$

Этап 5.4

Добавим $81$ и $4$ .

$x^{2} - 22 x + 85 = 0$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} - 22 x + 85$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $85$ , а сумма — $- 22$ .

$- 17, - 5$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 17) (x - 5) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 17 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 17$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 17$ к $0$ .

$x - 17 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $17$ к обеим частям уравнения.

$x = 17$

Этап 5.8

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 17) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 17, 5$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $9 = x + 2 \sqrt{x - 1}$ истинным.

$x = 5$