Алгебра Примеры

$\log (6 x + 5) - \log (3) = \log (2) - \log (x)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{6 x + 5}{3}) = \log (2) - \log (x)$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{6 x + 5}{3}) = \log (\frac{2}{x})$

Этап 3

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{6 x + 5}{3} = \frac{2}{x}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$(6 x + 5) x = 3 \cdot 2$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $(6 x + 5) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \cdot x + 5 x = 3 \cdot 2$

Этап 4.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$6 (x \cdot x) + 5 x = 3 \cdot 2$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} + 5 x = 3 \cdot 2$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x^{2} + 5 x = 6$

Этап 4.2.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Этап 4.2.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$6 x^{2} + 5 (x) - 6 = 0$

Этап 4.2.4.1.2

Запишем $5$ как $- 4$ плюс $9$

$6 x^{2} + (- 4 + 9) x - 6 = 0$

Этап 4.2.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} - 4 x + 9 x - 6 = 0$

Этап 4.2.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(6 x^{2} - 4 x) + 9 x - 6 = 0$

Этап 4.2.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (3 x - 2) + 3 (3 x - 2) = 0$

Этап 4.2.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) (2 x + 3) = 0$

Этап 4.2.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$2 x + 3 = 0$

Этап 4.2.6

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 4.2.6.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 4.2.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.7

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 4.2.7.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 4.2.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 4.2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 4.2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 2) (2 x + 3) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, - \frac{3}{2}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log (6 x + 5) - \log (3) = \log (2) - \log (x)$ истинным.

$x = \frac{2}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2}{3}$

Десятичная форма:

$x = 0.\overline{6}$