Алгебра Примеры

$x^{- \frac{2}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} - 30 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{- \frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 30 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{- \frac{1}{3}}$ для всех.

$u^{2} + u - 30 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + u - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 5) (x^{- \frac{1}{3}} + 6) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} - 5$ к $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{- \frac{1}{3}} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{- \frac{1}{3}} = 5$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $- 3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x^{- 1 \cdot - 1} = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{1} = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 5^{- 3}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Упростим $5^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{5^{3}}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$x = \frac{1}{125}$

Этап 4

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} + 6$ к $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{- \frac{1}{3}} + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$x^{- \frac{1}{3}} = - 6$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $- 3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{1} = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 6)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Упростим ${(- 6)}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{{(- 6)}^{3}}$

Этап 4.2.3.2.1.2

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$x = \frac{1}{- 216}$

Этап 4.2.3.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{216}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{- \frac{1}{3}} - 5) (x^{- \frac{1}{3}} + 6) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{125}, - \frac{1}{216}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{125}, - \frac{1}{216}$

Десятичная форма:

$x = 0.008, - 0.004\overline{629}$