Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{12} + \sqrt{7}}$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{7}}$

Этап 1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{7}}$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{| 2 | \sqrt{3} + \sqrt{7}}$

Этап 1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$

Этап 2

Умножим $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ на $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{7}}$ на $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3} - \sqrt{7}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2 \sqrt{3} + \sqrt{7}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}$

Этап 4

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{4 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{21} + 2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

$\frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Этап 6

Развернем $(\sqrt{7} - \sqrt{5}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3} - \sqrt{7})}{5}$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{7} (2 \sqrt{3}) + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\sqrt{7} (2 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.1.2

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{21} + \sqrt{7} (- \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.2

Умножим $\sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.2.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{1 + 1} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - {\sqrt{7}}^{2} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.3

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{\frac{2}{2}} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7^{1} - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.3.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{21} - 1 \cdot 7 - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - \sqrt{5} (2 \sqrt{3}) - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.5

Умножим $- \sqrt{5} (2 \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{5} \sqrt{3} - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{3 \cdot 5} - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.5.3

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} - \sqrt{5} (- \sqrt{7})}{5}$

Этап 7.6

Умножим $- \sqrt{5} (- \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + 1 \sqrt{5} \sqrt{7}}{5}$

Этап 7.6.2

Умножим $\sqrt{5}$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{5} \sqrt{7}}{5}$

Этап 7.6.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{5 \cdot 7}}{5}$

Этап 7.6.4

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{35}}{5}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 \sqrt{21} - 7 - 2 \sqrt{15} + \sqrt{35}}{5}$

Десятичная форма:

$0.06705289 \dots$