Алгебра Примеры

$\frac{11}{3 x} - \frac{1}{3} = \frac{- 4}{x^{2}}$

Этап 1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\frac{1}{3}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{11}{3 x} = \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{1}{3}$

Этап 1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{11}{3 x} = - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{3}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x, x^{2}, 3$

Этап 2.2

Так как $3 x, x^{2}, 3$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $3, 1, 3$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}, x^{2}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.6

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.7

НОК $3, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 2.10

НОК $x^{1}, x^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x$

Этап 2.11

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2}$

Этап 2.12

НОК $3 x, x^{2}, 3$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{11}{3 x} = - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{3}$ умножим на $3 x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{11}{3 x} = - \frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{3}$ на $3 x^{2}$ .

$\frac{11}{3 x} (3 x^{2}) = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{11}{3 x} x^{2} = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$3 \frac{11}{3 (x)} x^{2} = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{11}{3 x} x^{2} = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11}{x} x^{2} = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{11}{x} (x \cdot x) = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11}{x} (x \cdot x) = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$11 x = - \frac{4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{x^{2}}$ в числитель.

$11 x = \frac{- 4}{x^{2}} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$11 x = \frac{- 4}{x^{2}} (x^{2} \cdot 3) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$11 x = \frac{- 4}{x^{2}} (x^{2} \cdot 3) + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$11 x = - 4 \cdot 3 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$11 x = - 12 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$11 x = - 12 + \frac{1}{3} (3 (x^{2}))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$11 x = - 12 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$11 x = - 12 + x^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$11 x - x^{2} = - 12$

Этап 4.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$11 x - x^{2} + 12 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x - x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Изменим порядок $11 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x + 12 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x + 12 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) + 12 = 0$

Этап 4.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Этап 4.3.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 11 x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - 11 x - 12) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим $x^{2} - 11 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 11$ .

$- 12, 1$

Этап 4.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 12) (x + 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 12) (x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 12 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 4.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 12) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 12, - 1$