Алгебра Примеры

$\sqrt{2 x + 4} = \sqrt{x} - 2$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 4}}^{2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 4}$ в виде ${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 4)}^{1} = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$2 x + 4 = {(\sqrt{x} - 2)}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${(\sqrt{x} - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{x} - 2)}^{2}$ в виде $(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 2)$ .

$2 x + 4 = (\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 2)$

Этап 2.3.1.2

Развернем $(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 4 = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 2) - 2 (\sqrt{x} - 2)$

Этап 2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 4 = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 (\sqrt{x} - 2)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 4 = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x + 4 = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 4 = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 4 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x + 4 = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 4 = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + 4 = x^{1} + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$2 x + 4 = x + \sqrt{x} \cdot - 2 - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $\sqrt{x}$ .

$2 x + 4 = x - 2 \cdot \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} - 2 \cdot - 2$

Этап 2.3.1.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$2 x + 4 = x - 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + 4$

Этап 2.3.1.3.2

Вычтем $2 \sqrt{x}$ из $- 2 \sqrt{x}$ .

$2 x + 4 = x - 4 \sqrt{x} + 4$

Этап 3

Решим относительно $- 4 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x - 4 \sqrt{x} + 4 = 2 x + 4$ .

$x - 4 \sqrt{x} + 4 = 2 x + 4$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $- 4 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{x} + 4 = 2 x + 4 - x$

Этап 3.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 4 \sqrt{x} = 2 x + 4 - x - 4$

Этап 3.2.3

Объединим противоположные члены в $2 x + 4 - x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$- 4 \sqrt{x} = 2 x - x + 0$

Этап 3.2.3.2

Добавим $2 x - x$ и $0$ .

$- 4 \sqrt{x} = 2 x - x$

Этап 3.2.4

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$- 4 \sqrt{x} = x$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 4 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(- 4 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 x^{1} = x^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$16 x = x^{2}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$16 x - x^{2} = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$16 u - u^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $u$ из $16 u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $u$ из $16 u$ .

$u \cdot 16 - u^{2} = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 16 + u (- u) = 0$

Этап 6.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 16 + u (- u)$ .

$u (16 - u) = 0$

Этап 6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$x (16 - x) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$16 - x = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $16 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $16 - x$ к $0$ .

$16 - x = 0$

Этап 6.5.2

Решим $16 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 16$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 16$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 16$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 1$ .

$x = 16$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (16 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 16$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{2 x + 4} = \sqrt{x} - 2$ истинным.

$Нет решения$