Алгебра Примеры

$\ln (2 y - 5) + \ln (2) = 5 x + \ln (5 x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 y - 5) \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (2 y \cdot 2 - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Этап 1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\ln (4 y - 5 \cdot 2) = 5 x + \ln (5 x)$

Этап 1.3.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\ln (4 y - 10) = 5 x + \ln (5 x)$

Этап 2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (4 y - 10) - \ln (5 x) = 5 x$

Этап 3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4 y - 10}{5 x}) = 5 x$

Этап 4

Вынесем множитель $2$ из $4 y - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 y$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) - 10}{5 x}) = 5 x$

Этап 4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\ln (\frac{2 (2 y) + 2 (- 5)}{5 x}) = 5 x$

Этап 4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 y) + 2 (- 5)$ .

$\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$

Этап 5

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x})} = e^{5 x}$

Этап 6

Перепишем $\ln (\frac{2 (2 y - 5)}{5 x}) = 5 x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{5 x} = \frac{2 (2 y - 5)}{5 x}$

Этап 7

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} = e^{5 x}$

Этап 7.2

Умножим обе части на $5 x$ .

$\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x) = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Упростим $\frac{2 (2 y - 5)}{5 x} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 (x)} x = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \frac{2 (2 y - 5)}{5 x} x = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (2 y - 5)}{x} x = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (2 y - 5) = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 5 = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.1.1.5.2

Умножим $2$ на $- 5$ .

$4 y - 10 = e^{5 x} (5 x)$

Этап 7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим $e^{5 x} (5 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y - 10 = 5 e^{5 x} x$

Этап 7.3.2.1.2

Изменим порядок множителей в $5 e^{5 x} x$ .

$4 y - 10 = 5 x e^{5 x}$

Этап 7.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Добавим $10$ к обеим частям уравнения.

$4 y = 5 x e^{5 x} + 10$

Этап 7.4.2

Разделим каждый член $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Разделим каждый член $4 y = 5 x e^{5 x} + 10$ на $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Этап 7.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y}{4} = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Этап 7.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{10}{4}$

Этап 7.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 (5)}{4}$

Этап 7.4.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 7.4.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{5 x e^{5 x}}{4} + \frac{5}{2}$