Алгебра Примеры

$4^{x} + 2^{x + 1} = 8$

Этап 1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$4^{x} + 2^{x + 1} - 8 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $2^{x + 1}$ в виде $2^{x} \cdot 2^{1}$ .

$4^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $4^{x}$ в виде ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Этап 2.3

Перепишем ${(2^{2})}^{x}$ в виде ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

Этап 2.4

Пусть $u = 2^{x}$ . Подставим $u$ вместо $2^{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем экспоненту.

$u^{2} + u \cdot 2 - 8 = 0$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$u^{2} + 2 u - 8 = 0$

Этап 2.5

Разложим $u^{2} + 2 u - 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 8$ , а сумма — $2$ .

$- 2, 4$

Этап 2.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

Этап 2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2^{x}$ .

$(2^{x} - 2) (2^{x} + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2^{x} - 2 = 0$

$2^{x} + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $2^{x} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2^{x} - 2$ к $0$ .

$2^{x} - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $2^{x} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$2^{x} = 2$

Этап 4.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{1}$

Этап 4.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 5

Приравняем $2^{x} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2^{x} + 4$ к $0$ .

$2^{x} + 4 = 0$

Этап 5.2

Решим $2^{x} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$2^{x} = - 4$

Этап 5.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 4)$

Этап 5.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 4)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.2.4

Нет решения для $2^{x} = - 4$

Нет решения

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2^{x} - 2) (2^{x} + 4) = 0$ верно.

$x = 1$