Алгебра Примеры

$\frac{x + 2}{x^{2} + 4 x + 3} - \frac{x + 1}{x + 3}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $4$ .

$1, 3$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x + 1}{x + 3}$

Этап 2

Чтобы записать $- \frac{x + 1}{x + 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 1) (x + 3)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x + 1}{x + 3}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 3) (x + 1)}$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $(x + 3) (x + 1)$ .

$\frac{x + 2}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x + 2 - (x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 2 + (- x - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.3

Развернем $(- x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 - x (x + 1) - 1 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 - x \cdot x - x \cdot 1 - 1 (x + 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 2 - x \cdot x - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.4.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - 2 x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.5

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x + 2 - x^{2} - 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.6

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{- x - x^{2} + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 5.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- x^{2} - x + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 6

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - x + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (x) + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (x)$ .

$\frac{- (x^{2} + x) + 1}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 6.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + x) - 1 (- 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + x - 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перепишем $- (x^{2} + x - 1)$ в виде $- 1 (x^{2} + x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x - 1)}{(x + 1) (x + 3)}$

Этап 6.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} + x - 1}{(x + 1) (x + 3)}$