Алгебра Примеры

$\frac{1}{2} \log_{5} (15) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{2} \log_{5} (15)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{75})$

Этап 1.2

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{25 (3)})$

Этап 1.2.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (\sqrt{5^{2} \cdot 3})$

Этап 1.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{5} (15^{\frac{1}{2}}) - \log_{5} (5 \sqrt{3})$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}})$

Этап 3

Умножим $\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{15^{\frac{1}{2}}}{5 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \sqrt{3} \sqrt{3}})$

Этап 4.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 (\sqrt{3} \sqrt{3})})$

Этап 4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})})$

Этап 4.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})})$

Этап 4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Этап 4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {\sqrt{3}}^{2}})$

Этап 4.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Этап 4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}})$

Этап 4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3^{1}})$

Этап 4.7.5

Найдем экспоненту.

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{5 \cdot 3})$

Этап 5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\log_{5} (\frac{15^{\frac{1}{2}} \sqrt{3}}{15})$

Этап 5.2

Перенесем $15^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15 \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Этап 6

Умножим $15$ на $15^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $15$ на $15^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $15$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1} \cdot 15^{- \frac{1}{2}}})$

Этап 6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{1 - \frac{1}{2}}})$

Этап 6.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Этап 6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{2 - 1}{2}}})$

Этап 6.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$

Этап 7

Перепишем $\log_{5} (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 7.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (\frac{\sqrt{3}}{15^{\frac{1}{2}}})}{\log (5)}$

Десятичная форма:

$- 0.5$