Алгебра Примеры

$16 x^{4} + 31 x^{2} = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$16 x^{4} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$16 {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 2 = 0$

Этап 2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$16 u^{2} + 31 u - 2 = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 16 \cdot - 2 = - 32$ , а сумма — $b = 31$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $31$ из $31 u$ .

$16 u^{2} + 31 (u) - 2 = 0$

Этап 2.3.1.2

Запишем $31$ как $- 1$ плюс $32$

$16 u^{2} + (- 1 + 32) u - 2 = 0$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 u^{2} - 1 u + 32 u - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(16 u^{2} - 1 u) + 32 u - 2 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (16 u - 1) + 2 (16 u - 1) = 0$

Этап 2.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $16 u - 1$ .

$(16 u - 1) (u + 2) = 0$

Этап 2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(16 x^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.5

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$({(4 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 2.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4 x$ и $b = 1$ .

$(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 5

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 6

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} + 2$ к $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 2$

Этап 6.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Этап 6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Этап 6.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Этап 6.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Этап 6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{2}$

Этап 6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{2}$

Этап 6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x + 1) (4 x - 1) (x^{2} + 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{1}{4}, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$