Алгебра Примеры

$\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x + 6, 6 - x, x - 6$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x + 6$ является само значение $x + 6$ .

$(x + 6) = x + 6$

$(x + 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $6 - x$ является само значение $6 - x$ .

$(6 - x) = 6 - x$

$(6 - x)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x - 6$ является само значение $x - 6$ .

$(x - 6) = x - 6$

$(x - 6)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x + 6, 6 - x, x - 6$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 6) (6 - x) (x - 6)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$ умножим на $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$ на $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$\frac{x + 7}{x + 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $x + 6$ из $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$\frac{x + 7}{x + 6} ((x + 6) ((6 - x) (x - 6))) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 7}{x + 6} ((x + 6) ((6 - x) (x - 6))) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$(x + 7) ((6 - x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$(x + 7) ((- 1 (- 6) - x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$(x + 7) ((- 1 (- 6) - (x)) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 6) - (x)$ .

$(x + 7) (- 1 (- 6 + x) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.5

Изменим порядок членов.

$(x + 7) (- 1 (x - 6) (x - 6)) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.6

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$(x + 7) (- 1 ({(x - 6)}^{1} (x - 6))) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.7

Возведем $x - 6$ в степень $1$ .

$(x + 7) (- 1 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1})) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 7) (- 1 {(x - 6)}^{1 + 1}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$(x + 7) (- 1 {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.10

Перепишем $- 1 {(x - 6)}^{2}$ в виде $- {(x - 6)}^{2}$ .

$(x + 7) (- {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- {(x - 6)}^{2}) + 7 (- {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 6)}^{2} + 7 (- {(x - 6)}^{2}) - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.13

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - \frac{2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.14

Сократим общий множитель $6 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.14.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{6 - x}$ в числитель.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + \frac{- 2 x}{6 - x} ((x + 6) (6 - x) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.14.2

Вынесем множитель $6 - x$ из $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + \frac{- 2 x}{6 - x} ((6 - x) ((x + 6) (x - 6))) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.14.3

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + \frac{- 2 x}{6 - x} ((6 - x) ((x + 6) (x - 6))) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.14.4

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x ((x + 6) (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.15

Развернем $(x + 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x (x - 6) + 6 (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 (x - 6)) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 6 + 6 x + 6 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.16.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 6$ и $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x - 6 x + 6 x + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16.2

Добавим $- 6 x$ и $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + 0 + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.16.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x \cdot x + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.17.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x^{2} + 6 \cdot - 6) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.17.2

Умножим $6$ на $- 6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x (x^{2} - 36) = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.18

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.19

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.19.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.19.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.19.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.19.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.19.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} - 2 x \cdot - 36 = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.2.1.20

Умножим $- 36$ на $- 2$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = \frac{2 x}{x - 6} ((x + 6) (6 - x) (x - 6))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x - 6$ из $(x + 6) (6 - x) (x - 6)$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = \frac{2 x}{x - 6} ((x - 6) ((x + 6) (6 - x)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = \frac{2 x}{x - 6} ((x - 6) ((x + 6) (6 - x)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x ((x + 6) (6 - x))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x + 6) (6 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (x (6 - x) + 6 (6 - x))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (x \cdot 6 + x (- x) + 6 (6 - x))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (x \cdot 6 + x (- x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 \cdot x + x (- x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x \cdot x + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - (x \cdot x) + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Этап 2.3.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x^{2} + 6 \cdot 6 + 6 (- x))$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x^{2} + 36 + 6 (- x))$

Этап 2.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (6 x - x^{2} + 36 - 6 x)$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (- x^{2} + 36 + 0)$

Этап 2.3.3.3

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (- x^{2} + 36)$

Этап 2.3.4

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 36$

Этап 2.3.4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 36$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $36$ на $2$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 72 x$

Этап 2.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 72 x$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 72 x$

Этап 2.3.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 72 x$

Этап 2.3.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = 2 \cdot - 1 x^{3} + 72 x$

Этап 2.3.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x = - 2 x^{3} + 72 x$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $2 x^{3}$ к обеим частям уравнения.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x + 2 x^{3} = 72 x$

Этап 3.1.2

Вычтем $72 x$ из обеих частей уравнения.

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x + 2 x^{3} - 72 x = 0$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} - 2 x^{3} + 72 x + 2 x^{3} - 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Добавим $- 2 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 72 x + 0 - 72 x = 0$

Этап 3.1.3.2

Добавим $- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 72 x$ и $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 72 x - 72 x = 0$

Этап 3.1.3.3

Вычтем $72 x$ из $72 x$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} + 0 = 0$

Этап 3.1.3.4

Добавим $- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2}$ и $0$ .

$- x {(x - 6)}^{2} - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$- x ((x - 6) (x - 6)) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.2

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x (x - 6) - 6 (x - 6)) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.3.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$- x (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.3.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$- x (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$- x (x^{2} - 12 x + 36) - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \cdot x^{2} - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.5.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- (x^{2} x) - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.5.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (x^{2} x^{1}) - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- x^{2 + 1} - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.5.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- x^{3} - x (- 12 x) - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x \cdot x - x \cdot 36 - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.5.3

Умножим $36$ на $- 1$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x \cdot x - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.6.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.6.1.1

Перенесем $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 (x \cdot x) - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} - 1 \cdot - 12 x^{2} - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.6.2

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 {(x - 6)}^{2} = 0$

Этап 3.1.4.7

Перепишем ${(x - 6)}^{2}$ в виде $(x - 6) (x - 6)$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 ((x - 6) (x - 6)) = 0$

Этап 3.1.4.8

Развернем $(x - 6) (x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x (x - 6) - 6 (x - 6)) = 0$

Этап 3.1.4.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) = 0$

Этап 3.1.4.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) = 0$

Этап 3.1.4.9

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.9.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) = 0$

Этап 3.1.4.9.1.2

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) = 0$

Этап 3.1.4.9.1.3

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} - 6 x - 6 x + 36) = 0$

Этап 3.1.4.9.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 (x^{2} - 12 x + 36) = 0$

Этап 3.1.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 x^{2} - 7 (- 12 x) - 7 \cdot 36 = 0$

Этап 3.1.4.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.11.1

Умножим $- 12$ на $- 7$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 x^{2} + 84 x - 7 \cdot 36 = 0$

Этап 3.1.4.11.2

Умножим $- 7$ на $36$ .

$- x^{3} + 12 x^{2} - 36 x - 7 x^{2} + 84 x - 252 = 0$

Этап 3.1.5

Вычтем $7 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$- x^{3} + 5 x^{2} - 36 x + 84 x - 252 = 0$

Этап 3.1.6

Добавим $- 36 x$ и $84 x$ .

$- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

$q = \pm 1$

Этап 3.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 252, \pm 2, \pm 126, \pm 3, \pm 84, \pm 4, \pm 63, \pm 6, \pm 42, \pm 7, \pm 36, \pm 9, \pm 28, \pm 12, \pm 21, \pm 14, \pm 18$

Этап 3.2.1.3

Подставим $6$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $6$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Подставим $6$ в многочлен.

$- 6^{3} + 5 \cdot 6^{2} + 48 \cdot 6 - 252$

Этап 3.2.1.3.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 216 + 5 \cdot 6^{2} + 48 \cdot 6 - 252$

Этап 3.2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $216$ .

$- 216 + 5 \cdot 6^{2} + 48 \cdot 6 - 252$

Этап 3.2.1.3.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$- 216 + 5 \cdot 36 + 48 \cdot 6 - 252$

Этап 3.2.1.3.5

Умножим $5$ на $36$ .

$- 216 + 180 + 48 \cdot 6 - 252$

Этап 3.2.1.3.6

Добавим $- 216$ и $180$ .

$- 36 + 48 \cdot 6 - 252$

Этап 3.2.1.3.7

Умножим $48$ на $6$ .

$- 36 + 288 - 252$

Этап 3.2.1.3.8

Добавим $- 36$ и $288$ .

$252 - 252$

Этап 3.2.1.3.9

Вычтем $252$ из $252$ .

$0$

Этап 3.2.1.4

Поскольку $6$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 6$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252}{x - 6}$

Этап 3.2.1.5

Разделим $- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252$ на $x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$6$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$48 x$

$252$

Этап 3.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$

Этап 3.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			-	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 3.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 6 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 3.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 3.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$

Этап 3.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$

Этап 3.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					-	$x^{2}$	+	$6 x$

Этап 3.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} + 6 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$

Этап 3.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$

Этап 3.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$

Этап 3.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $42 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$

Этап 3.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$
							+	$42 x$	-	$252$

Этап 3.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $42 x - 252$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$
							-	$42 x$	+	$252$

Этап 3.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$42$
$x$	-	$6$	-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$48 x$	-	$252$
			+	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$48 x$
					+	$x^{2}$	-	$6 x$
							+	$42 x$	-	$252$
							-	$42 x$	+	$252$
										$0$

Этап 3.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} - x + 42$

Этап 3.2.1.6

Запишем $- x^{3} + 5 x^{2} + 48 x - 252$ в виде набора множителей.

$(x - 6) (- x^{2} - x + 42) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 42 = - 42$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$(x - 6) (- x^{2} - (x) + 42) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.2

Запишем $- 1$ как $6$ плюс $- 7$

$(x - 6) (- x^{2} + (6 - 7) x + 42) = 0$

Этап 3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 6) (- x^{2} + 6 x - 7 x + 42) = 0$

Этап 3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x - 6) ((- x^{2} + 6 x) - 7 x + 42) = 0$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x - 6) (x (- x + 6) + 7 (- x + 6)) = 0$

Этап 3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + 6$ .

$(x - 6) ((- x + 6) (x + 7)) = 0$

Этап 3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 6) (- x + 6) (x + 7) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$- x + 6 = 0$

$x + 7 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.5

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (- x + 6) (x + 7) = 0$ верно.

$x = 6, - 7$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{x + 7}{x + 6} - \frac{2 x}{6 - x} = \frac{2 x}{x - 6}$ истинным.

$x = - 7$