Алгебра Примеры

$f (r) = 4 π r^{2}$

Этап 1

Запишем $f (r) = 4 π r^{2}$ в виде уравнения.

$y = 4 π r^{2}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$r = 4 π y^{2}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 π y^{2} = r$ .

$4 π y^{2} = r$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 π y^{2} = r$ на $4 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 π y^{2} = r$ на $4 π$ .

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 π y^{2}}{4 π} = \frac{r}{4 π}$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π y^{2}}{π} = \frac{r}{4 π}$

Этап 3.2.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{r}{4 π}$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{r}{4 π}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\frac{r}{4 π}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $r$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{4 π}}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4 π$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} r}{2^{2} π}}$

Этап 3.4.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} r}{2^{2} π}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{r}{π}}$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{r}{π}}$

Этап 3.4.3

Перепишем $\sqrt{\frac{r}{π}}$ в виде $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$

Этап 3.4.4

Умножим $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ на $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}})$

Этап 3.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{r}}{\sqrt{π}}$ на $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{\sqrt{π} \sqrt{π}}$

Этап 3.4.5.2

Возведем $\sqrt{π}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} \sqrt{π}}$

Этап 3.4.5.3

Возведем $\sqrt{π}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1} {\sqrt{π}}^{1}}$

Этап 3.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{\sqrt{π}}^{2}}$

Этап 3.4.5.6

Перепишем ${\sqrt{π}}^{2}$ в виде $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{π}$ в виде $π^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{{(π^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π^{1}}$

Этап 3.4.5.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r} \sqrt{π}}{π}$

Этап 3.4.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{r π}}{π}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{r π}}{π}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

$y = - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (r)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ обратной к $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (r) = 4 π r^{2}$ и $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{r π}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$r π \geq 0$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $r π \geq 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $r π \geq 0$ на $π$ .

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r π}{π} \geq \frac{0}{π}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r \geq \frac{0}{π}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$r \geq 0$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $r$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (r) = 4 π r^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (r) = 4 π r^{2}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ , представляет область определения $f (r) = 4 π r^{2}$ , то $f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$ — обратная к $f (r) = 4 π r^{2}$ .

$f^{- 1} (r) = \frac{\sqrt{r π}}{2 π}, - \frac{\sqrt{r π}}{2 π}$

Этап 6