Алгебра Примеры

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \div (16 - 25 x^{2})$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30}}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5 x^{2} - 19 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot 12 = 60$ , а сумма — $b = - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 19$ из $- 19 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 19 (x) + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 3.1.2

Запишем $- 19$ как $- 4$ плюс $- 15$

$\frac{5 x^{2} + (- 4 - 15) x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} - 4 x - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(5 x^{2} - 4 x) - 15 x + 12}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (5 x - 4) - 3 (5 x - 4)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 x - 4$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x - 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $10$ из $10 x$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x) - 30} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $10$ из $- 30$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 x + 10 \cdot - 3} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $10$ из $10 x + 10 \cdot - 3$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x - 4) (x - 3)}{10 (x - 3)} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{16 - 25 x^{2}}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - 25 x^{2}}$

Этап 5.2

Перепишем $25 x^{2}$ в виде ${(5 x)}^{2}$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{4^{2} - {(5 x)}^{2}}$

Этап 5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4$ и $b = 5 x$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - (5 x))}$

Этап 5.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{5 x - 4}{10} \cdot \frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{5 x - 4}{10}$ на $\frac{1}{(4 + 5 x) (4 - 5 x)}$ .

$\frac{5 x - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $5 x - 4$ и $4 - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $5 x$ .

$\frac{- (- 5 x) - 4}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Этап 6.2.2

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{- (- 5 x) - 1 (4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (- 5 x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Этап 6.2.4

Перепишем $- (- 5 x + 4)$ в виде $- 1 (- 5 x + 4)$ .

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 ((4 + 5 x) (4 - 5 x))}$

Этап 6.2.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Этап 6.2.6

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (- 5 x + 4)}{10 (4 + 5 x) (- 5 x + 4)}$

Этап 6.2.7

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{10 (4 + 5 x)}$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{10 (4 + 5 x)}$