Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 1

Разложим $(x^{2} + x) (x^{2} - 8 x + 16)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 1.1.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f (x) = \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 16)}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$f (x) = \frac{x (x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 2

Разложим $(x^{2} - 1) (10 x^{3} - 15 x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x^{2} - 1^{2}) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (10 x^{3} - 15 x)}$

Этап 2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $5 x$ из $10 x^{3} - 15 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $5 x$ из $10 x^{3}$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) - 15 x)}$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $5 x$ из $- 15 x$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3))}$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 3)$ .

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Этап 2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Этап 3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{x (x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 x (2 x^{2} - 3))}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Этап 4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{(x + 1) {(x - 4)}^{2}}{(x + 1) (x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{(x - 1) \cdot (5 (2 x^{2} - 3))}$

Этап 5

Перенесем $5$ влево от $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 \cdot ((x - 1) (2 x^{2} - 3))}$

Этап 6

Умножим $5$ на $x - 1$ .

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$

Этап 7

Чтобы найти точки разрыва, рассмотрим в знаменателе множители, которые были сокращены.

$x + 1, x$

Этап 8

Чтобы найти координаты точек разрыва, приравняем все сокращенные множители к $0$ , решим и подставим найденные значения обратно в $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8.3

Подставим $- 1$ вместо $x$ в $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ , чтобы найти $y$ -координату разрыва.

$\frac{{(- 1 - 4)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$\frac{{(- 5)}^{2}}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Этап 8.3.2.1.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{25}{5 (- 1 - 1) (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Этап 8.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.2.1

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$\frac{25}{5 \cdot - 2 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Этап 8.3.2.2.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 {(- 1)}^{2} - 3)}$

Этап 8.3.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{25}{- 10 (2 \cdot 1 - 3)}$

Этап 8.3.2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{25}{- 10 (2 - 3)}$

Этап 8.3.2.2.5

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{25}{- 10 \cdot - 1}$

Этап 8.3.2.3

Умножим $- 10$ на $- 1$ .

$\frac{25}{10}$

Этап 8.3.2.4

Сократим общий множитель $25$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $25$ .

$\frac{5 (5)}{10}$

Этап 8.3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{2}$

Этап 8.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 8.5

Подставим $0$ вместо $x$ в $\frac{{(x - 4)}^{2}}{5 (x - 1) (2 x^{2} - 3)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Подставим $0$ вместо $x$ , чтобы найти $y$ -координату разрыва.

$\frac{{(0 - 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Этап 8.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Этап 8.5.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{5 (0 - 1) (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Этап 8.5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{16}{5 \cdot - 1 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Этап 8.5.2.2.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.2.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{16}{- (5 (2 \cdot 0^{2} - 3))}$

Этап 8.5.2.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0^{2} - 3)}$

Этап 8.5.2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{16}{- 5 (2 \cdot 0 - 3)}$

Этап 8.5.2.2.3.2

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{16}{- 5 (0 - 3)}$

Этап 8.5.2.2.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$\frac{16}{- 5 \cdot - 3}$

Этап 8.5.2.3

Умножим $- 5$ на $- 3$ .

$\frac{16}{15}$

Этап 8.6

Разрывы в графике — точки, в которых любой из сокращенных множителей равен $0$ .

$(- 1, \frac{5}{2}), (0, \frac{16}{15})$

Этап 9