Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} + x - 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 2

Разложим $x^{2} + x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 7

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 2, - 3$

$x = 7$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 2, - 3, 7$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} + x - 6}{x - 7}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 7 = 0$

Этап 10.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 6 - 6}{(- 6) - 7} \geq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 1.\overline{846153}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(0)}^{2} + 0 - 6}{(0) - 7} \geq 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $0.\overline{857142}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} + 4 - 6}{(4) - 7} \geq 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 4.\overline{6}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(10)}^{2} + 10 - 6}{(10) - 7} \geq 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $34.\overline{6}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 2$ Истина

$2 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 2$ Истина

$2 < x < 7$ Ложь

$x > 7$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq 2$ или $x > 7$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 3 \leq x \leq 2 or x > 7$

Интервальное представление:

$[- 3, 2] \cup (7, \infty)$

Этап 15