Алгебра Примеры

$\frac{3 x - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 (x) - 12}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot - 4}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.2

Сократим выражение $\frac{3 (x - 4)}{3 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (x - 4)}{3 x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{4 x^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.3

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 9}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{{(2 x)}^{2} - 3^{2}}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 x + 15}$

Этап 1.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 15 = 60$ , а сумма — $b = - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Вынесем множитель $- 16$ из $- 16 x$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 16 (x) + 15}$

Этап 1.6.1.2

Запишем $- 16$ как $- 6$ плюс $- 10$

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} + (- 6 - 10) x + 15}$

Этап 1.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{4 x^{2} - 6 x - 10 x + 15}$

Этап 1.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(4 x^{2} - 6 x) - 10 x + 15}$

Этап 1.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{2 x (2 x - 3) - 5 (2 x - 3)}$

Этап 1.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Этап 1.7

Сократим выражение $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{(2 x - 3) (2 x - 5)}$

Этап 1.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 2 x - 5$

Этап 2.2

Поскольку $x, 2 x - 5$ содержит как числа, так и переменные, для нахождения наименьшего общего кратного требуется четыре этапа. Найдем наименьшее общее кратное для числовой, переменной и составной переменной частей. Затем перемножим их.

Этапы поиска НОК для $x, 2 x - 5$ :

1. Найдем НОК для числовой части $1, 1$ .

2. Найдем НОК для переменной части $x^{1}$ .

3. Найдем НОК для составной переменной части $2 x - 5$ .

4. Перемножим все НОК.

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.6

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.8

Множителем $2 x - 5$ является само значение $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) = 2 x - 5$

$(2 x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $2 x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 x - 5$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$x (2 x - 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$ умножим на $x (2 x - 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x - 4}{x} = \frac{2 x + 3}{2 x - 5}$ на $x (2 x - 5)$ .

$\frac{x - 4}{x} (x (2 x - 5)) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x - 4}{x} (x (2 x - 5)) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$(x - 4) (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.2

Развернем $(x - 4) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5) = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.3.1.3

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - 5 \cdot x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.3.1.5

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$2 x^{2} - 5 x - 8 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 5 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} (x (2 x - 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $2 x - 5$ из $x (2 x - 5)$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} ((2 x - 5) x)$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = \frac{2 x + 3}{2 x - 5} ((2 x - 5) x)$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = (2 x + 3) x$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x \cdot x + 3 x$

Этап 3.3.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перенесем $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 (x \cdot x) + 3 x$

Этап 3.3.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 2 x^{2} + 3 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} = 3 x$

Этап 4.1.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x = 0$

Этап 4.1.3

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 13 x + 20 - 2 x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Вычтем $2 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$- 13 x + 20 + 0 - 3 x = 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- 13 x + 20$ и $0$ .

$- 13 x + 20 - 3 x = 0$

Этап 4.1.4

Вычтем $3 x$ из $- 13 x$ .

$- 16 x + 20 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$- 16 x = - 20$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 16 x = - 20$ на $- 16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 16 x = - 20$ на $- 16$ .

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 16 x}{- 16} = \frac{- 20}{- 16}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 20}{- 16}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель $- 20$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 20$ .

$x = \frac{- 4 (5)}{- 16}$

Этап 4.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 16$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Этап 4.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{- 4 \cdot 5}{- 4 \cdot 4}$

Этап 4.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{5}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$x = 1.25$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{4}$