Алгебра Примеры

${(x - 3)}^{2} + y^{2} \leq 9$

Этап 1

Вычтем ${(x - 3)}^{2}$ из обеих частей неравенства.

$y^{2} \leq 9 - {(x - 3)}^{2}$

Этап 2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | \leq \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$| y | \leq \sqrt{3^{2} - {(x - 3)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x - 3$ .

$| y | \leq \sqrt{(3 + x - 3) (3 - (x - 3))}$

Этап 3.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$| y | \leq \sqrt{(x + 0) (3 - (x - 3))}$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - (x - 3))}$

Этап 3.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x - - 3)}$

Этап 3.2.1.3.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (3 - x + 3)}$

Этап 3.2.1.3.5

Добавим $3$ и $3$ .

$| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Этап 4

Запишем $| y | \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$y \geq 0$

Этап 4.2

В части, где $y$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Этап 4.3

Найдем область определения $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ и пересечение с $y \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Найдем область определения $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x (- x + 6)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (- x + 6) \geq 0$

Этап 4.3.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Упростим $x (- x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.1.2.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Этап 4.3.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Этап 4.3.1.2.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Этап 4.3.1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.3.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Этап 4.3.1.2.3.2

Вынесем множитель $- x$ из $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Этап 4.3.1.2.3.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Этап 4.3.1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 4.3.1.2.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.3.1.2.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.3.1.2.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.3.1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 6) = 0$ верно.

$x = 0, 6$

Этап 4.3.1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Этап 4.3.1.2.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.3.1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.9.1.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.1.2.9.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 4.3.1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.9.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.3.1.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 4.3.1.2.9.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Этап 4.3.1.2.9.3.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.3.1.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 4.3.1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 6$

Этап 4.3.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[0, 6]$

Этап 4.3.2

Найдем пересечение $y \geq 0$ и $[0, 6]$ .

$0 \leq y \leq 6$

Этап 4.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$y < 0$

Этап 4.5

В части, где $y$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$

Этап 4.6

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ и пересечение с $y < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Найдем область определения $- y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

$x (- x + 6) \geq 0$

Этап 4.6.1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Упростим $x (- x + 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (- x) + x \cdot 6 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- x \cdot x + x \cdot 6 \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.1.2.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$- x \cdot x + 6 \cdot x \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$- (x \cdot x) + 6 \cdot x \geq 0$

Этап 4.6.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- x^{2} + 6 \cdot x \geq 0$

$- x^{2} + 6 x \geq 0$

Этап 4.6.1.2.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 6 x = 0$

Этап 4.6.1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.3.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Этап 4.6.1.2.3.2

Вынесем множитель $- x$ из $6 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Этап 4.6.1.2.3.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x) - x (- 6)$ .

$- x (x - 6) = 0$

Этап 4.6.1.2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 4.6.1.2.5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.6.1.2.6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 4.6.1.2.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 4.6.1.2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (x - 6) = 0$ верно.

$x = 0, 6$

Этап 4.6.1.2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 6$

$x > 6$

Этап 4.6.1.2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 4.6.1.2.9.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (- (- 2) + 6) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.9.1.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.6.1.2.9.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 4.6.1.2.9.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$(3) (- (3) + 6) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.9.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.6.1.2.9.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.9.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 4.6.1.2.9.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$(8) (- (8) + 6) \geq 0$

Этап 4.6.1.2.9.3.3

Левая часть $- 16$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.6.1.2.9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 4.6.1.2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 \leq x \leq 6$

Этап 4.6.1.3

Область определения ― это все значения $y$ , при которых выражение определено.

$[0, 6]$

Этап 4.6.2

Найдем пересечение $y < 0$ и $[0, 6]$ .

$Нет решения$

Этап 4.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} y \leq \sqrt{x (- x + 6)} & 0 \leq y \leq 6 \end{cases}$

Этап 5

Найдем пересечение $y \leq \sqrt{x (- x + 6)}$ и $0 \leq y \leq 6$ .

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

Этап 6

Найдем объединение решений.

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

Этап 7