Алгебра Примеры

$q^{3} + 64 = 0$

Этап 1

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$q^{3} = - 64$

Этап 2

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$q^{3} + 64 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$q^{3} + 4^{3} = 0$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = q$ и $b = 4$ .

$(q + 4) (q^{2} - q \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(q + 4) (q^{2} - 4 q + 4^{2}) = 0$

Этап 3.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$(q + 4) (q^{2} - 4 q + 16) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$q + 4 = 0$

$q^{2} - 4 q + 16 = 0$

Этап 5

Приравняем $q + 4$ к $0$ , затем решим относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $q + 4$ к $0$ .

$q + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$q = - 4$

Этап 6

Приравняем $q^{2} - 4 q + 16$ к $0$ , затем решим относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $q^{2} - 4 q + 16$ к $0$ .

$q^{2} - 4 q + 16 = 0$

Этап 6.2

Решим $q^{2} - 4 q + 16 = 0$ относительно $q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $q$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$q = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$q = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$q = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$q = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$q = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$q = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$q = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$q = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$q = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$q = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$q = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$q = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.3.3

Упростим $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$q = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$q = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(q + 4) (q^{2} - 4 q + 16) = 0$ верно.

$q = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$