Алгебра Примеры

$\frac{9}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 5}{3 x - 3}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{2} - 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $- 3$ .

$- 2, - 1$

Этап 1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{9}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 5}{3 x - 3}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 5}{3 (x) - 3}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 5}{3 (x) + 3 (- 1)}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x) + 3 (- 1)$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 5}{3 (x - 1)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x - 2) (x - 1), x - 2, 3 (x - 1)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.5

НОК $1, 1, 3$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.6

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $x - 2, x - 1, x - 2, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (x - 1)$

Этап 2.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 (x - 2) (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{9}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 5}{3 (x - 1)}$ умножим на $3 (x - 2) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{9}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{1}{x - 2} = \frac{x + 5}{3 (x - 1)}$ на $3 (x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{9}{(x - 2) (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1)) - \frac{1}{x - 2} (3 (x - 2) (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{9}{(x - 2) (x - 1)} ((x - 2) (x - 1)) - \frac{1}{x - 2} (3 (x - 2) (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3 \frac{9}{(x - 2) (x - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{9}{(x - 2) (x - 1)}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{(x - 2) (x - 1)} ((x - 2) (x - 1)) - \frac{1}{x - 2} (3 (x - 2) (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{27}{(x - 2) (x - 1)} ((x - 2) (x - 1)) - \frac{1}{x - 2} (3 (x - 2) (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $(x - 2) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27}{(x - 2) (x - 1)} ((x - 2) (x - 1)) - \frac{1}{x - 2} (3 (x - 2) (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$27 - \frac{1}{x - 2} (3 (x - 2) (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x - 2}$ в числитель.

$27 + \frac{- 1}{x - 2} (3 (x - 2) (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4.2

Вынесем множитель $x - 2$ из $3 (x - 2) (x - 1)$ .

$27 + \frac{- 1}{x - 2} ((x - 2) (3 (x - 1))) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$27 + \frac{- 1}{x - 2} ((x - 2) (3 (x - 1))) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$27 - (3 (x - 1)) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$27 - 3 (x - 1) = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$27 - 3 x - 3 \cdot - 1 = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$27 - 3 x + 3 = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $27$ и $3$ .

$- 3 x + 30 = \frac{x + 5}{3 (x - 1)} (3 (x - 2) (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 x + 30 = 3 \frac{x + 5}{3 (x - 1)} ((x - 2) (x - 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 3 x + 30 = 3 \frac{x + 5}{3 (x - 1)} ((x - 2) (x - 1))$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 3 x + 30 = \frac{x + 5}{x - 1} ((x - 2) (x - 1))$

Этап 3.3.1.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x - 2) (x - 1)$ .

$- 3 x + 30 = \frac{x + 5}{x - 1} ((x - 1) (x - 2))$

Этап 3.3.1.3.2

Сократим общий множитель.

$- 3 x + 30 = \frac{x + 5}{x - 1} ((x - 1) (x - 2))$

Этап 3.3.1.3.3

Перепишем это выражение.

$- 3 x + 30 = (x + 5) (x - 2)$

Этап 3.3.2

Развернем $(x + 5) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x + 30 = x (x - 2) + 5 (x - 2)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x + 30 = x \cdot x + x \cdot - 2 + 5 (x - 2)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 x + 30 = x \cdot x + x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2$

Этап 3.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$- 3 x + 30 = x^{2} + x \cdot - 2 + 5 x + 5 \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- 3 x + 30 = x^{2} - 2 \cdot x + 5 x + 5 \cdot - 2$

Этап 3.3.3.1.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- 3 x + 30 = x^{2} - 2 x + 5 x - 10$

Этап 3.3.3.2

Добавим $- 2 x$ и $5 x$ .

$- 3 x + 30 = x^{2} + 3 x - 10$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 3 x - 10 = - 3 x + 30$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} + 3 x - 10 + 3 x = 30$

Этап 4.2.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$x^{2} + 6 x - 10 = 30$

Этап 4.3

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 6 x - 10 - 30 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $30$ из $- 10$ .

$x^{2} + 6 x - 40 = 0$

Этап 4.5

Разложим $x^{2} + 6 x - 40$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 40$ , а сумма — $6$ .

$- 4, 10$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 10) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 4.8

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 10) = 0$ верно.

$x = 4, - 10$