Алгебра Примеры

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Этап 1

Упростим $\frac{7}{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем.

$x^{2} - 2 < 0 + 0 + \frac{7}{2} x$

Этап 1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x^{2} - 2 < \frac{7}{2} x$

Этап 1.3

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x$ .

$x^{2} - 2 < \frac{7 x}{2}$

Этап 2

Вычтем $\frac{7 x}{2}$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 2 - \frac{7 x}{2} < 0$

Этап 3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} + 2 \cdot - 2 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 + 2 (- \frac{7 x}{2}) < 0$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 x}{2}$ в числитель.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 x^{2} - 4 + 2 (\frac{- 7 x}{2}) < 0$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 x^{2} - 4 - 7 x < 0$

Этап 3.3

Перенесем $- 4$ .

$2 x^{2} - 7 x - 4 < 0$

Этап 4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} - 7 x - 4 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 7$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 4)}}{2 \cdot 2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 4}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.3

Добавим $49$ и $32$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.4

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{9^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{7 \pm 9}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{7 \pm 9}{4}$

Этап 8

Объединим решения.

$x = 4, - \frac{1}{2}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

${(- 3)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (- 3)$

Этап 10.1.3

Левая часть $7$ не меньше правой части $- 10.5$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (0)$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

${(6)}^{2} - 2 < \frac{7}{2} \cdot (6)$

Этап 10.3.3

Левая часть $34$ не меньше правой части $21$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < - \frac{1}{2}$ Ложь

$- \frac{1}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{1}{2} < x < 4$

Интервальное представление:

$(- \frac{1}{2}, 4)$

Этап 13