Алгебра Примеры

$\frac{2 + \sqrt{- 8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Этап 1

Выделим мнимую часть $i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1 (8)}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Этап 1.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (8)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$\frac{2 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Этап 1.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 2}}$

Этап 1.4

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1 (2)}}$

Этап 1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (2)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}}$

Этап 1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + i \cdot \sqrt{2}}$

Этап 2

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1.41421356 \cdot i}$ на комплексно сопряженное $1 + 1.41421356 \cdot i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{2 + i \cdot \sqrt{8}}{1 + 1.41421356 \cdot i} \cdot \frac{1 - 1.41421356 i}{1 - 1.41421356 i}$

Этап 3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим.

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{8}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{4 (2)}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{(2 + i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{(2 + i \cdot (2 \sqrt{2})) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$\frac{(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.2

Развернем $(2 + 2 i \sqrt{2}) (1 - 1.41421356 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (1 - 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} (1 - 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 1.41421356 i) + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $- 1.41421356$ на $2$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} \cdot 1 + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} + 2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.4

Умножим $2 i \sqrt{2} (- 1.41421356 i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.4.1

Умножим $- 1.41421356$ на $2$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 2.82842712 i \sqrt{2} i}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $- 2.82842712$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i i}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.4.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 (i^{1} i)}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.4.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 (i^{1} i^{1})}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i^{1 + 1}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 i^{2}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} - 4 \cdot - 1}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.1.6

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2} + 4}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.2.3.2

Добавим $2$ и $4$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(1 + 1.41421356 \cdot i) (1 - 1.41421356 i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 (1 - 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i (1 - 1.41421356 i)}$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 \cdot 1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Этап 3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 1 (- 1.41421356 i) + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1.41421356$ на $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i \cdot 1 + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $1.41421356$ на $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i + 1.41421356 \cdot i (- 1.41421356 i)}$

Этап 3.3.2.4

Умножим $- 1.41421356$ на $1.41421356$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i i}$

Этап 3.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot (i^{1} i)}$

Этап 3.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot (i^{1} i^{1})}$

Этап 3.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i^{1 + 1}}$

Этап 3.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 - 1.41421356 i + 1.41421356 \cdot i - 2 \cdot i^{2}}$

Этап 3.3.2.9

Добавим $- 1.41421356 i$ и $1.41421356 \cdot i$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 i - 2 \cdot i^{2}}$

Этап 3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $0$ на $i$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - 2 \cdot i^{2}}$

Этап 3.3.3.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 - 2 \cdot - 1}$

Этап 3.3.3.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 0 + 2}$

Этап 3.3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1 + 2}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 4

Перепишем $6$ в виде $1 (6)$ .

$\frac{1 (6) - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 5

Вынесем множитель $1$ из $- 2.82842712 i$ .

$\frac{1 (6) + 1 (- 2.82842712 i) + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 6

Вынесем множитель $1$ из $1 (6) + 1 (- 2.82842712 i)$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i) + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Этап 7

Вынесем множитель $1$ из $2 i \sqrt{2}$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i) + 1 (2 i \sqrt{2})}{3}$

Этап 8

Вынесем множитель $1$ из $1 (6 - 2.82842712 i) + 1 (2 i \sqrt{2})$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})}{3}$

Этап 9

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})}{3 (1)}$

Этап 10

Разделим дроби.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1}$

Этап 11

Разделим $1$ на $3$ .

$0.33333333 \frac{6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}}{1}$

Этап 12

Разделим $6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2}$ на $1$ .

$0.33333333 (6 - 2.82842712 i + 2 i \sqrt{2})$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$0.33333333 \cdot 6 + 0.33333333 (- 2.82842712 i) + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $0.33333333$ на $6$ .

$2 + 0.33333333 (- 2.82842712 i) + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Этап 14.2

Умножим $- 2.82842712$ на $0.33333333$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.33333333 (2 i \sqrt{2})$

Этап 14.3

Умножим $0.33333333 (2 i \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $2$ на $0.33333333$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.66666666 (i \sqrt{2})$

Этап 14.3.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $0.66666666$ .

$2 - 0.94280904 i + 0.94280904 i$

Этап 15

Добавим $- 0.94280904 i$ и $0.94280904 i$ .

$2 + 0 i$

Этап 16

Умножим $0$ на $i$ .

$2 + 0$

Этап 17

Добавим $2$ и $0$ .

$2$