Алгебра Примеры

$\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{x^{2} - 2^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, 1, (x + 2) (x - 2)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 2, x + 2, x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 2) (x + 2)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$ умножим на $(x - 2) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)}$ на $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x - 2} ((x - 2) (x + 2)) + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x + 2) + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 2 + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x + 2 ((x - 2) (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5

Развернем $(x - 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 2 (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 2$ и $- 2 x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.6.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x \cdot x - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.7.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x^{2} - 2 \cdot 2) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.7.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x^{2} - 4) = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 4 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.1.9

Умножим $2$ на $- 4$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} - 8 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.2.2

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 = \frac{8}{(x + 2) (x - 2)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 2) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 2) (x + 2)$ из $(x + 2) (x - 2)$ .

$3 x^{2} + 2 x - 8 = \frac{8}{(x - 2) (x + 2) (1)} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = \frac{8}{(x - 2) (x + 2) \cdot 1} ((x - 2) (x + 2))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + 2 x - 8 = 8$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} + 2 x - 8 - 8 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $8$ из $- 8$ .

$3 x^{2} + 2 x - 16 = 0$

Этап 4.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 16 = 0$

Этап 4.3.1.2

Запишем $2$ как $- 6$ плюс $8$

$3 x^{2} + (- 6 + 8) x - 16 = 0$

Этап 4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 6 x + 8 x - 16 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 6 x) + 8 x - 16 = 0$

Этап 4.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 x (x - 2) + 8 (x - 2) = 0$

Этап 4.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 2$ .

$(x - 2) (3 x + 8) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x + 8 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.6

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $3 x + 8$ к $0$ .

$3 x + 8 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $3 x + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 8$

Этап 4.6.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 8$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 4.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 8}{3}$

Этап 4.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{3}$

Этап 4.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{3}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (3 x + 8) = 0$ верно.

$x = 2, - \frac{8}{3}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{8}{x^{2} - 4}$ истинным.

$x = - \frac{8}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{8}{3}$

Десятичная форма:

$x = - 2.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$x = - 2 \frac{2}{3}$