Алгебра Примеры

$(3 x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 7 x) \div (3 x + 1)$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{2} + x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

$6 x$

Этап 16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

$6 x$

$0$

Этап 17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

$6 x$

$0$

Этап 18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

$6 x$

$0$

$6 x$

$2$

Этап 19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x + 2$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

$6 x$

$0$

$6 x$

$2$

Этап 20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$3 x$

$1$

$3 x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$7 x$

$0$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$x^{2}$

$6 x^{3}$

$2 x^{2}$

$3 x^{2}$

$7 x$

$3 x^{2}$

$x$

$6 x$

$0$

$6 x$

$2$

Этап 21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{3} - 2 x^{2} + x + 2 - \frac{2}{3 x + 1}$