Алгебра Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{1 - y^{3}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$ .

$\sqrt[3]{1 - y^{3}} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{1 - y^{3}}}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{1 - y^{3}}$ в виде ${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - y^{3})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - y^{3})}^{1} = x^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$1 - y^{3} = x^{3}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y^{3} = x^{3} - 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $- y^{3} = x^{3} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $- y^{3} = x^{3} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.2.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x^{3}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x^{3}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$y^{3} = - x^{3} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.2.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{3} = - x^{3} + 1$

Этап 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- x^{3} + 1}$

Этап 3.4.4

Упростим $\sqrt[3]{- x^{3} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Перепишем $- x^{3}$ в виде ${(- x)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1}$

Этап 3.4.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- x)}^{3} + 1^{3}}$

Этап 3.4.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = - x$ и $b = 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- x)}^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.4.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) ({(- 1)}^{2} x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.4.4.3.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (1 x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.4.4.3.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} - - x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.4.4.3.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + 1 x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.4.4.3.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Этап 3.4.4.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Этап 3.4.4.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$y = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Избавимся от скобок.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) + 1) ({(\sqrt[3]{1 - x^{3}})}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.5.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1 - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.6

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{1^{3} - x^{3}}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.7

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.8.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) ({\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.9

Перепишем ${\sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{((1 - x) (1 + x + x^{2}))}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Применим правило умножения к $(1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1 - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.10.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{1^{3} - x^{3}} + 1)}$

Этап 5.2.11

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Этап 5.2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.12.1

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + 1 x + x^{2})} + 1)}$

Этап 5.2.12.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{1 - x^{3}}) = \sqrt[3]{(- \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1) (\sqrt[3]{{(1 - x)}^{2} {(1 + x + x^{2})}^{2}} + \sqrt[3]{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + 1)}$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1 - {(\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)})}^{3}}$

Этап 5.3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{1^{3} - {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{3}}$

Этап 5.3.4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1^{2} + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Этап 5.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + 1 \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Этап 5.3.5.2

Умножим $\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ на $1$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + {\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2})}$

Этап 5.3.5.3

Перепишем ${\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{((- x + 1) (x^{2} + x + 1))}^{2}})}$

Этап 5.3.5.4

Применим правило умножения к $(- x + 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$f (\sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) = \sqrt[3]{(1 - \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}) (1 + \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)} + \sqrt[3]{{(- x + 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2}})}$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{1 - x^{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{(- x + 1) (x^{2} + x + 1)}$