Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{2} {(x + 4)}^{2} - 8$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$y = x^{2}$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(x + 4)}^{2}$ в виде $(x + 4) (x + 4)$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot ((x + 4) (x + 4)) - 8$

Этап 2.1.2

Развернем $(x + 4) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 4) + 4 (x + 4)) - 8$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) - 8$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Этап 2.1.3.1.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) - 8$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) - 8$

Этап 2.1.3.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 8 x + 16) - 8$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (8 x) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Этап 2.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Этап 2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (2 (4 x)) + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Этап 2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot 16 - 8$

Этап 2.1.5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 (8)) - 8$

Этап 2.1.5.3.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 8$

Этап 2.1.5.3.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8 - 8$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{x^{2}}{2} + 4 x + 8 - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x + 0$

Этап 2.2.2

Добавим $\frac{x^{2}}{2} + 4 x$ и $0$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Этап 3

Предположим, что $y = x^{2}$ есть $f (x) = x^{2}$ , а $y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 4)}^{2} - 8$ есть $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$ .

$f (x) = x^{2}$

$g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Этап 4

Описываемое преобразование из $f (x) = x^{2}$ в $g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$ .

$f (x) = x^{2} \to g (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Этап 5

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$g (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $4$

Этап 6

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$g (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Смещение по вертикали: сдвинут вниз на $8$ ед.

Этап 7

График отражен относительно оси x, если $g (x) = - f (x)$ .

Отражение относительно оси X: нет

Этап 8

График отражен относительно оси y, если $g (x) = f (- x)$ .

Отражение относительно оси Y: нет

Этап 9

Сжатие и растяжение зависят от значения $a$ .

Если $a$ больше $1$ : растянут по вертикали

Если $a$ между $0$ и $1$ : сжат по вертикали

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 10

Сравним и перечислим преобразования.

Порождающая функция: $y = x^{2}$

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $4$

Смещение по вертикали: сдвинут вниз на $8$ ед.

Отражение относительно оси X: нет

Отражение относительно оси Y: нет

Сжатие или растяжение по вертикали: сжат

Этап 11