Алгебра Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x - 8}{4 - x^{2}}$

Этап 1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 2 (x) - 8}{4 - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Запишем $2$ как $- 4$ плюс $6$

$f (x) = \frac{3 x^{2} + (- 4 + 6) x - 8}{4 - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 4 x + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = \frac{(3 x^{2} - 4 x) + 6 x - 8}{4 - x^{2}}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = \frac{x (3 x - 4) + 2 (3 x - 4)}{4 - x^{2}}$

Этап 1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 4$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{4 - x^{2}}$

Этап 2

Разложим $4 - x^{2}$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{2^{2} - x^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(2 + x) (2 - x)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $x + 2$ и $2 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$f (x) = \frac{(3 x - 4) (x + 2)}{(x + 2) (2 - x)}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{2 - x}$

Этап 4

Чтобы найти точки разрыва, рассмотрим в знаменателе множители, которые были сокращены.

$2 + x$

Этап 5

Чтобы найти координаты точек разрыва, приравняем все сокращенные множители к $0$ , решим и подставим найденные значения обратно в $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 + x$ к $0$ .

$2 + x = 0$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.3

Подставим $- 2$ вместо $x$ в $\frac{3 x - 4}{2 - x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ , чтобы найти $y$ -координату разрыва.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - - 2}$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3 \cdot - 2 - 4$ и $2 - - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3 \cdot - 2 - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $3 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) - 4}{2 - 2 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 \cdot - 1) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 - 2 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2.1.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) - 2 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1) + 2 (- - 1)}$

Этап 5.3.2.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- - 1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Этап 5.3.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 \cdot - 1 - 2)}{2 (1 - - 1)}$

Этап 5.3.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot - 1 - 2}{1 - - 1}$

Этап 5.3.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 - 2}{1 - - 1}$

Этап 5.3.2.2.2

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$\frac{- 5}{1 - - 1}$

Этап 5.3.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 5}{1 + 1}$

Этап 5.3.2.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 5}{2}$

Этап 5.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{2}$

Этап 5.4

Разрывы в графике — точки, в которых любой из сокращенных множителей равен $0$ .

$(- 2, - \frac{5}{2})$

Этап 6